b-族非线性浅水波方程尖峰子解的研究

In the theory of solitons and the integrable syetems, b-nonlinear shallow water equations, which admit peakon solutions, arouses high interest in the recent 20 years. The Camassa-Holm equation and the Degasperis-Procesi equation are the most important equations in b-nonlinear shallow water equations. Comparing to the thorough and deep understanding on the Camassa-Holm equation, people have limited acquaintance with the Degasperis-Procesi equation. Especially, there are many open problems on the multi-peakon-antipeakons. Since the collision between the peakon and the antipeakon causes the shockwave, the study on the conditions and results of the collision are very important. The inverse scattering method, the Darboux transformation and the Painleve test are the effective tools for these problems. In our program, we will focus on the dynamical behaviour of the multi-peakon-antipeakon solutions to the b-nonlinear shallow water equations, especially to Degasperis-Procesi equation. We will try to find the explicit expression of the multi-peakon-antipeakon solutions to the Degasperis-Procesi equation.

在孤立子与可积系统理论中，b-族非线性浅水波方程因容有尖峰子解，是近20年的研究热点，其中Camassa-Holm方程和Degasperis-Procesi方程是最有代表性的两个。相对于人们对Camassa-Holm方程全面且深刻的认识，人们对Degasperis-Procesi方程的研究还比较有限，特别是对混合尖峰-反尖峰子的研究，目前还有很多未解决的问题。由于Degasperis-Procesi方程的尖峰与反尖峰的碰撞会产生激波，因此对尖峰与反尖峰碰撞条件和结果的研究是重要的。反散射方法、Darboux变换和Painleve分析是解决这一问题的有力工具。本项目将研究Degasperis-Procesi方程及一般b-族方程尖峰-反尖峰子的动力学行为，力求得到DP方程尖峰-反尖峰子的显式表达式。

b-族浅水波方程首先由Degasperis, Holm and Hone导出，其中包含了两个重要的完全可积的方程——Camassa-Holm方程和Degasperis-Procesi方程。b-族浅水波方程容有一类特殊的广义解，被称为尖峰子。这种现象，在线性方程或者经典描述非线性浅水波的KdV方程中，都未曾发现。尖峰解与波的破裂密切相关，有重要的研究价值。.尖峰子是有限个特定指数函数的叠加，其动力学行为可以通过常微分方程组来研究。当不同尖峰的位置在某一时刻重合时，我们称之为尖峰碰撞。尖峰的碰撞通常会引起多尖峰解的破裂。在本项目中，我们建立了一种研究尖峰碰撞的方法，利用这种方法我们研究了DP方程乃至b-族浅水波方程的尖峰子，得到尖峰只可能两两碰撞（即多尖峰碰撞不会发生），激波可能由尖峰碰撞产生。我们还得到，三次弦谱问题的特征值分布，与初始尖峰的高度符号有关。特别，若初始状态尖峰与反尖峰分居两侧，谱问题的特征值都是实的并且单的。一般情况下，尖峰解的长时存在性与三次弦谱问题的特征值性质有关。.将一个可积方程的Lax对推而广之得到可积梯队的方法，可以使我们得到更多的可积方程，并有可能用统一的方法研究整个梯队中的所有方程。在本项目中，我们研究了一类负数阶的Camassa-Holm型梯队，证明了这一梯队导出的方程容有尖峰子解，并且尖峰解与Lax对相容。