几类具有尖峰孤立子解的非线性色散波方程的若干问题的研究

In this project we mainly study several problems of several types of nonlinear dispersive wave equations with peakon solutions. Concerning the Camassa-Holm equation,the Degasperis-Procesi equation, the Hunter-Saxton equation and the b-equation, we mainly study some new important problems and open problems on them. As for the two-component Camassa-Holm system, the two-component Degasperis-Procesi system, the two-component Hunter-Saxton system and the two-component b-system, we mainly investigate initial value problems and initial boundary value problems of these systems, such as, local well-posedness, global existence and blow-up phenomena of strong solutions, the existence and uniqueness of global weak solutions, the orbital stabilities of peaked solitons and shock wave solutions, and numerical schemes of solitary wave interactions. The Camassa-Holm equation and the Degasperis-Procesi equation are two important typical representatives of dispersive wave equations with peakon solutions. They were recently derived as two models for shallow water wave equations which are completely integrable and can exhibit both phenomena of soliton and wave breaking. In recent years, they have been studied extensively. Our research in this project on the above mentioned problems for several types of dispersive wave equations will help us to characterize deeply two important phenomena of soliton and wave breaking from a mathematical point of view. Therefore, our research of this project will be very important and useful in mathematical theories and physical applications.

本项目主要对几类具有尖峰孤立子解的非线性色散波方程的若干问题进行研究。关于Camassa-Holm方程、Degasperis-Procesi方程、Hunter-Saxton方程和b族方程,主要研究与之有关的一些重要的新问题和未解决的问题。关于两个分量的CH系统、两个分量的DP系统、两个分量的HS系统和两分量的b族系统,主要研究这些系统的初值问题和初边值问题的局部适定性，强解的爆破和整体存在性，整体弱解的存在性和唯一性，尖峰孤立子解和激波解的轨道稳定性以及它们相互作用的数值模拟。 CH方程和DP方程是具有尖峰孤立子解的色散波方程的两个典型代表，也是新近发现的能描述孤立子和波破裂现象的重要可积浅水波方程，近年来，得到了广泛的关注和研究。本项目拟对这几类具有尖峰孤立子解的色散波方程的上述问题研究，有助于我们从数学角度对孤立子和波破裂现象加以深刻描述和刻划。因此本项目的研究有重要的数学和物理意义。

本项目主要对具有尖峰孤立子解的非线性色散波方程：Camassa-Holm方程、Degasperis-Procesi方程、Hunter-Saxton方程和b族方程，以及两个分量的CH系统、两个分量的DP系统、两个分量的HS系统和两分量的b族系统及其相关的一些新的数学模型的柯西问题和初边值问题进行了广泛和深入的研究。关于CH方程、DP方程、HS方程和b族方程,主要研究与之有关的未解决的解连续依赖性问题，所得的抽象理论解决了这些CH类型方程在非齐次Besov空间中的解的连续依赖性问题。关于两个分量的CH系统、两个分量的DP系统、两个分量的HS系统和两分量的b族系统及其相关的一些新的数学模型,主要研究这些系统的柯西问题和初边值问题的局部适定性，强解的爆破和整体存在性，整体弱解的存在性和唯一性，守恒弱解的存在性和唯一性，解的Gevrey正则性和衰减性，解析解的存在性，尖峰孤立子解和弱的扭结解的存在性,以及尖峰孤立子解的轨道稳定性等问题进行了细致深入的研究，推广和改进了原有的理论，并在所研究的各个方面都取得了比较大的突破和进展。所得的研究成果从数学角度上对尖峰孤立子，扭结解和波破裂现象这三个重要的浅水波领域的物理现象有细致的刻画和深入的理解。