椭圆结合超椭圆曲线密码中若干计算问题研究

Elliptic curve cryptography (ECC) is one of the most important research areas in cryptography, and has been widely used for constructing public key cryptosystems. A lot of research works have shown that computational problems in ECC usually induce similar problems on hyperelliptic curves, while the latter ones often bring some computational benefits.. In this program we will study the hyper-and-elliptic curve cryptography (H+ECC), which was first introduced by Bernstein and Lange in 2014. Specially, we aim at some elliptic curves defined over quadratic extension field, which have both genus 1 (elliptic) and genus 2 (hyperelliptic) models in the sense of isogeny. By combining the advantages of both curve models, we will explore some computational problems in H+ECC, such as the generation of desired curves, the explicit computation and mathematical proofs for isogeny map, and the fast and secure implementations for group arithmetic. We will intensively study the influence of such computations on low genus curve based cryptography.. This program will also provide some new methods and factors for the development of both theory and practice in low genus curve based cryptography, such as selection of secure curves, fast implementation techniques of cryptosystems, and even a challenge for solving discrete logarithm problems on some very special curves.

椭圆曲线密码是密码学的重要研究方向之一，目前已广泛应用于公钥密码系统的建立。已有的许多研究工作表明，椭圆曲线密码中的若干问题在一些情况下可转化到某些超椭圆曲线上相关的问题，由此得到计算上的便利。.本项目主要研究 Bernstein 和 Lange 于2014年提出的椭圆结合超椭圆曲线密码学。具体的，我们将研究定义在二次扩域上的一些椭圆曲线族，它们在同源意义下同时具有亏格1（椭圆）和亏格2（超椭圆）曲线模型。在充分结合两类曲线模型各自优点的前提下，研究椭圆结合超椭圆曲线中的若干计算问题，包括：曲线构造，同源的显式计算和理论证明，以及曲线群律的快速安全计算。同时，深入考察这些计算对基于低亏格代数曲线密码学的影响。.本项目还将为低亏格代数曲线密码的理论发展与实际应用提供一些新方法和参考因素，如安全曲线的选择，密码系统的快速实现技术，甚至对一些特殊曲线上的离散对数问题求解开展挑战等。

椭圆曲线密码是密码学的重要研究方向之一，目前已广泛应用与构造公钥密码系统。本项目基本按照预期研究计划开展，重点研究椭圆（或超椭圆）曲线密码中的若干计算问题.我们取得的主要研究成果包括：.（1）开发不同计算平台上标量乘法安全快速实现技术（如高效安全有限域算术，GLV方法加速标量乘法，以及特殊曲线上标量乘法计算等），与已有研究相比，我们的实现显著提高了效率，将有力支持椭圆曲线密码在保护物联网等方面的重要应用。.（2）构造GLV友好曲线和配对友好曲线，用以分别支持加速标量乘法计算和双线性配对的计算。.（3）研究椭圆曲线上同源的计算，将有力支持后量子密码的预选方案之一基于超奇异同源密码（如SIDH/SIKE）的发展。.同时，我们还继续开展了在流密码方面的研究工作，如流密码的递归描述问题与退化性测试，以及剩余类环上的压缩映射构造与分析等。