基于（超）椭圆曲线的密码和编码问题研究

（Hyper）-elliptic curve cryptography has great applications in theory and practice. The efficiency and security attract much interest. This project studies properties of divisors in (hyper)-ellipitc curve function fields and (hyper)-elliptic curve theory, accelerates the computation of bilinear pairings on (hyper)-elliptic curves, and uses efficient coding methods to speed up and construct pairing based cryptographic protocols, such as key exchange protocols. Further, with the method of complementary dual codes against side channel attacks and fault injection attacks, we use (hyper)-elliptic curves to construct complementary dual algebraic geometry codes and study their parameters properties.

（超）椭圆曲线密码学有着重要的理论和应用价值，效率和安全一直是研究和应用的热点。本项目从（超）椭圆曲线的函数域和曲线理论出发，研究除子的性质，加快双线性对运算，并使用有效的编码方式来改进和构造基于双线性对的密码协议，例如密钥交换协议等；另一方面采用补对偶码的编码方法抵抗侧信道攻击和错误注入攻击，使用（超）椭圆曲线来构造好的补对偶代数几何码，并研究码的参数性质。

本项目主要研究了良好性质的编码与非线性密码函数。在良好性质的编码方面，主要研究良好性质编码的性质刻画、构造和推广等问题，具体研究了线性补对偶码、Lee码、BCH码和极小线性码：使用一般代数曲线（具体使用射影直线、椭圆曲线、超椭圆曲线等）除子理论构造线性补对偶的代数几何码，详细讨论和研究了一般线性补对偶码、Euclidean线性补对偶的MDS码和Hermitian线性补对偶的MDS码的存在性和构造，使用正交基来刻画线性补对偶码的充要条件，并考虑正交矩阵群在线性补对偶码集合上的作用来给出相关分类和计数，推广线性补对偶码到σ线性补对偶码，丰富了线性补对偶码理论；使用二次曲线来进行构造2-quasi完全Lee码的构造，并给出了2完全码和2-quasi完全码的一些必要条件以及一个直觉的构造算法；详细研究了一类BCH码的具体参数和重量计数子，证明了此类BCH码的设计距离是最小距离也是Bose距离；使用集合的特征函数方法来构造了更多的极小线性码，使用特征函数的Walsh谱值刻画了极小线性码，在线性补对偶码与极小码之间建立联系，并完全刻画了由某些重量的向量构成的定义集构造的极小线性码。在非线性密码函数方法，研究了非线性密码函数的性质刻画、构造和应用，包含正则bent函数、弱正则bent函数、广义的bent函数、二次bent函数以及码本，针对特殊形式的bent函数，使用Kloosterman和给出详细刻画，使用已有的弱正则bent函数构造了无穷类的弱正则bent函数，完全刻画了广义的bent函数，使用函数来构造码本。本项目解决了密码和编码中的一些问题，建立了密码、编码和数学理论之间的联系，在密码、编码、通信、存储和数学理论等方面有重要的理论和应用价值。