椭圆曲线密码的理论与计算研究

Elliptic curve cipher is one of the widely used public key cryptosystems now. Bilinear pairings on elliptic curves have many important applications in the design of secure protocols because of their special properties, such as identity-based encryptions, key agreement protocols,etc.. The most costly operations encountered of pairing-based cryptosystems or protocols mainly depend upon pairing-friendly elliptic curves and efficiently computable bilinear pairings. Many good results on the construction of pairing-friendly elliptic curves and computation of pairings have been yielded in the last decade. This project will study the generation of pairing-friendly elliptic curves and efficient algorithm of pairing computation by using Theta function theory. Implementation of the results of this project can provide more curve selection for different security levels and also fundamentally improve the efficiency of pairing-based cryptosystems.

椭圆曲线密码是目前广泛应用的公钥密码体制之一，椭圆曲线上的双线性对以其独特的性质在安全协议设计中有很多重要的应用，如基于身份的密码体制、密钥协商等。基于椭圆曲线上的双线性对的密码系统或协议的执行效率主要取决于适于双线性对计算的椭圆曲线和可有效计算的双线性对。最近十年，在适于双线性对计算的椭圆曲线构造和双线性对的计算的研究上获得了诸多好的结果。本项目构造更多适于双线性对计算的椭圆曲线，同时研究利用 Theta 函数构造计算双线性对的有效算法。该项目的研究成果可为不同安全级别的密码系统实现提供更多的曲线选择，也从根本上提高双线性对密码的实现效率。

项目执行期间，项目组成员已经发表学术论文15篇。有意义的成果包括不同曲线模型上的双线性对的计算问题，解决了含有3阶点的椭圆曲线的离散问题求解的理论框架，给出了详细的理论分析和算法实现方案。从理论上研究了椭圆曲线的点乘算法，得到椭圆曲线上关于点乘的平均值公式。对代数编码理论进行了研究，研究了分圆多项式的精确分解问题，研究不同长度的常循环码的分类问题，构造了11/2设计和有向强正则图，证明了几类广义bent函数的不存在性，给出了两类循环图中存在完全码的充要条件，等等。..在本项目资助下，8名博士研究生取得了理学博士学位。项目组成员开展了丰富有效的学术活动，诸如参加学术会议、组织学术交流等。在本项目的资助下，项目组成员不仅在椭圆曲线密码方面做出了具有学术价值的成果，而且研究人员的科研能力得到了进一步提高。