能量次临界薛定谔方程基态解附近渐近行为的研究

The Schr?dinger equation is a basic equation in quantum mechanics, which is used to decribe the behavior of wave function of the quantum system. Many physicists and mathematicians put their efforts to this equation. How to describe the asymptotic behavior of solutions is a very intersting problem in mathematics. However, one had to restrict to small solutions or the solution near the ground state for the lack of effective tools. Recently, an important innovation was introduced, as concentration-compactness-rigidity argument, by Kenig-Merle, and was applied to deal with the asymptotic behavior of general solutions..In this program, we will work on classification of solutions of the energy subcritical NLS near the ground state, the existence of the center-stable manifold and unstable manifold

非线性Schr?dinger方程是量子力学中的基本方程，用来描述量子系统的波函数。这一模型在物理和数学中都是大家关心的问题。而解的渐近行为是数学工作者们非常关心的定性理论问题。由于工具的缺乏，一直以来我们只能在小初值附近讨论解的整体性态以及在基态解附近利用变分方法讨论解的稳定性理论。近年来国际上由Kenig和Merle提出的集中紧性方法为研究大初值解的渐近行为提供了新的方法。这一方法突破了原有对初值小性的限制，具有广阔的研究前景。.本项目将研究能量次临界质量超临界聚焦型非线性Schr?dinger方程在基态解附近渐近行为的分类问题以及中心稳定流形与非稳定流形结构的存在性问题。

在这个项目中，我们研究以下两个问题：..1. 我们考虑焦散型齐次H^s临界Schrödinger方程。利用集中紧性方法以及频率分析手段，我们证明了在齐次H^s范数一致有界的条件下，解是整体的，并且散射现象存在。..2. 我们对于次临界聚焦型双幂次Schrödinger方程的解作了一个分类。在假设初值的质能量泛函(J)低于基态解的值前提下，如果J的变分泛函K是正的，那么对应的H^1解是整体的且散射，如果K是负的，那么对应的存在时间是有限的，并有限时间爆破。