关于非线性Kirchhoff方程和方程组的研究

In this program, applying the Lyapunov-Schmidt reduction method and variational method, we wish to study existence and properties of solutions for the nonlinear Kirchhoff equations and systems, as well as these equations and systems with perturbation under some general conditions on potential functions and nonlinearities. We wish to develop new methods and new techniques in nonlinear functional analysis by studying those problems.

本项目拟应用Lyapunov-Schmidt约化方法结合变分法来研究非线性Kirchhoff方程和方程组以及含有扰动项的非线性Kirchhoff方程和方程组在位势函数和非线性项满足不同条件下解的存在性及解的性态。我们希望通过研究这些问题发展出非线性泛函分析中的新的方法和工具。

我们主要研究了带磁位势的薛定谔方程的新形式解、非线性Kirchhoff方程和方程组的正的多包解、三个薛定谔方程耦合的方程组的正的基态解、以及一类拟线性方程的多解性。我们的研究具有一定的物理意义，它可以推动一些数学理论分支的发展。. 本项目主要取得了以下几个方面的成果。首先，应用有限约法方法，我们构造了R^N上带磁位势的薛定谔方程的新形式解。由于磁位势的出现,导致该问题只能出现复值解，这给应用奇异扰动方法带来了很多困难，会产生许多额外的项需要我们去估计，也会涉及到很多技巧性的精细估计。其次，我们应用有限约化方法研究了非线性Kirchhoff方程和方程组在位势函数满足不同条件下,正的多包解的存在性。由于非局部项的出现给研究这类问题带来了很大的困难，研究的过程中会涉及到很多新的估计。再次，我们研究了由三个薛定谔方程耦合的方程组，这一方程组描述非线性光学和玻色-爱因斯坦凝聚等物理过程中不同状态的相互作用。利用广义Nehari流形和精细的能量估计，对于具有周期位势或者阱型位势的由三个薛定谔方程耦合的方程组，我们证明在相互作用位势适当小的情况下正的基态的存在性。最后，我们研究了一类拟线性方程的多解性。