非线性椭圆方程组中的几个典型问题的解的存在性和解的性态的研究

In this program, applying the Lyapunov-Schmidt reduction method and the variational method, we wish to study the existence and properties of solutions for the nonlinear Schrödinger-Poisson system, the nonlinear Schrödinger-Poisson system with magnetic fields or perturbation and the fractional Schrödinger-Poisson system under some general conditions of potential function and nonlinearity. Our research has a wide physical meaning and it can promote the development of some branches of mathematics.

本项目拟应用Lyapunov-Schmidt约化方法结合变分方法来研究非线性Schrödinger-Poisson方程组、含电磁位势或扰动项的非线性Schrödinger-Poisson方程组、以及分数阶非线性Schrödinger-Poisson方程组在位势函数和非线性项满足不同条件时解的存在性及解的性态。我们的研究具有一定的物理意义，它可以推动一些数学理论分支的发展。

本项目主要研究了非线性Schrödinger-Poisson方程组、含电磁位势的非线性Schrödinger方程、分数阶非线性Schrödinger-Poisson方程组、分数阶Schrödinger系统和 Kirchhoff型方程解的存在性及解的性态。我们的研究具有一定的物理意义，它可以推动一些数学理论分支的发展。.本项目主要取得了以下几个方面的成果。首先，应用有限约法方法我们得到了分数阶非线性Schrödinger-Poisson方程组的峰值解、多包解、无穷多非对称正解的存在性。同时，我们还得到了非线性Schrödinger-Poisson方程组的多峰解，给的条件比之前我们研究的条件更为特殊。应用有限约法方法我们还得到了带电磁位势的Schrödinger方程的多峰解的存在性，分数阶非线性Schrödinger系统的同步解和分离解。其次，我们应用惩罚函数的方法结合有限约化方法研究了带超临界指标的双调和方程的高能量解。最后，我们得到了带扰动项的Kirchoff方程的1包正解的存在性。我们所考虑的问题都带有非局部项，会产生一些新的困难，需要我们想办法去克服。此外，涉及到很多复杂精细的计算，这需要很强的计算功底。