关于全空间上一类Kirchhoff型方程正解的存在性和多重性的研究

In this project, we will combine the variational methods, the theories of critical points and the scaling technique to study the existence and multiplicity of positive solutions to a kind of the Kirchhoff type equations, which is not only popular in the research areas of the nonlinear functional analysis but also has a rich physical background. The studies which will be carried out in this project are the natural problems left in the literatures to this equation. We believe that this project will not only fill up the gaps in the studies about this equation but also promote the development of the method in studying the Kirchhoff type equations and reveal more information about the Kirchhoff type equations and the Kirchhoff type nonlocal term.

本项目拟综合运用变分方法、临界点理论以及变换技巧研究一类Kirchhoff型方程正解的存在性和多重性。这一类Kirchhoff型方程不仅具有丰富的物理应用背景，而且也是目前国际上非线性分析研究领域中备受关注的研究热点。本项目拟开展的具体研究内容是目前关于这一类Kirchhoff型方程的研究中遗留下来有待进一步探索的自然问题。我们相信，本项目的研究工作不仅可以填补国际上有关这一类Kirchhoff型方程的研究空白，同时还可以推动现有的研究Kirchhoff型方程方法和技巧的进步，加深人们对Kirchhoff型方程以及Kirchhoff型非局部项的认识。

在本项目的资助下，围绕计划书的相关内容，我们紧跟国际前沿，在如下两方面开展了研究：.1..一类全空间上Kirchhoff型方程自治时正解的存在性和多重性，.2..一类全空间上Kirchhoff型方程非自治时正解的存在性。. 在研究这类自治Kirchhoff方程正解的存在性和多重性中，我们的主要研究结果如下：1、该类Kirchhoff方程正解的存在性和多重性等价于一类代数方程解的存在性和多重性；2、正解的所有的伸缩变换在该类Kirchhoff方程上都等价于一类特殊的变换；3、该类Kirchhoff方程所有的正解都有相应的变分刻画，即其能量值都为方程对应能量泛函在特定子流形上的极小值。我们的研究结果有如下的重要科学意义：我们给出了这类全空间上Kirchhoff方程自治时（相关非自治型方程的极限方程）正解结构的完整刻画，这将极大的推动相关非自治型的方程研究。在研究这类非自治Kirchhoff方程正解的存在性中，我们的主要研究重要结果如下：1、在某些参数充分小时，给出了非自治型方程两个分离的、具有自然约束性质的子流形；2、建立了一个适用于非自治型方程能量泛函的局部紧性定理；3、证明了其能量泛函在纤维丛映射的极大值点组成的子流形上的极小值是可达的。我们的研究结果有如下的重要科学意义：Pohozaev型的条件对全空间上非自治型的Kirchhoff方程正解的存在性来说不是必要的。这将极大的开阔人们研究全空间上非自治型的Kirchhoff方程正解存在性的思路，推动其发展。.