关于两个分量的非线性色散波方程组的研究

In this project, we consider the two-component CH system, the modified two-component CH system, the two-component μ-Hunter-Saxton (μHS2) system and the rotation-two-component Camassa–Holm system.. Firstly, we will study the global existence of strong solutions to CH2 and MCH2 by modifying Lyapunov function in Lyapunov positive function method. Deducing new conservation laws to study the global existence of strong solutions is a novel attempt. Then, we study the uniqueness of global weak solutions of MCH2 and uHS2 by use of mollifying the initial data, analysising of symbol conditions, constructing metrics and combining the lift of local regularity and weak-strong uniqueness. Finally, we will establish the local well-posedness for R2CH in a critical nonhomogeneous Besov space by using Littlewood–Paley decomposition and enrich the existing blow up results.. The solutions of this four systems will be characterized as the project is completed.

本项目研究两个分量的CH方程组(CH2),修正的两个分量的CH方程组(MCH2),两个分量的μ-Hunter-Saxton方程组(μHS2)和科里奥利力影响下的两个分量的CH方程组(R2CH).. 首先,通过修改Lyapunov正函数方法中的Lyapunov函数研究CH2和MCH2的强解关于时间的整体存在性.寻找合适的守恒律证明强解的整体存在性是一种新的尝试.其次,利用磨光初值、加符号条件分析和构造度量方法以及局部正则性提升结合弱强唯一性思想的方法来证明MCH2和μHS2整体弱解的唯一性.最后,使用Littlewood–Paley分解研究R2CH在临界Besov空间中的局部适定性,并丰富现有爆破结果.. 本项目的完成将对四个方程组的解给出比较完整的刻画.

浅水波方程属于非线性色散波方程。因为浅水波的水深相对于波长很小，所以浅水波又称为长波，海洋中两种比较特殊的长波是潮波和海啸波。潮波不易观察，只能用仪器进行观测。而海啸波因为其巨大的破坏力备受科学家们的关注。另外，很多运动，例如等离子体的离子声波，弹性杆中的纵向色散波动等都可以归结为浅水波方程。从而，对浅水波方程的研究成了过去30年的研究热点。浅水波方程的繁荣发展促使了数学理论的形成，对Euler方程不同程度的近似可以得到不同的非线性偏微分方程，通过使用算子半群理论，调和分析方法可以得到方程的局部适定性，爆破，强解的整体存在性等结果，而粘性逼近，初始值磨光和坐标变换等是研究浅水波方程弱解存在性的重要方法。.本项目以描述浅水波的 Camassa-Holm 型方程为研究对象，主要研究了受到地球自转产生的科里奥利力影响的水波模型 Rotation-two-component Camassa-Holm 解的爆破。主要得到了直线上和周期的两种情形下强解的爆破机制以及爆破的几个充分条件，丰富了现有结果。通过研究我们发现，对于 R2CH 中的参数σ和μ，σ=1，μ=0和σ>0有相同的爆破机制，所以在以后的研究中可以用简单参数来简化爆破机制的推导。另外，我们得到了σ<0时的爆破结果。但是因为方程结构原因，用来证明强解的整体存在性的Lyapunov正函数方法和用以研究整体弱解存在性的粘性逼近方法失效，这两个问题将做为后续的研究内容。.另外，在项目的进行过程中，我积极与同行进行交流合作，在椭圆方程领域也得到了两个结果。一个是 p(x)-Laplacian 方程的边界爆破解，我们根据d(x, ∂Ω)和指数的增长给出了边界附近解的逐点不同行为的精确估计。另一个是我们使用变分方法、惩罚技术和Ljusternick-Schnirelmann理论证明了有磁性的Schrödinger-Poisson 型方程在ε> 0 很小时非平凡解的多值性和集中性。