集值随机变量统计模型的若干理论问题及应用研究

Since there are many types of set-valued data in the real world, statistical analysis of set-valued data is an important task for researchers. We focus on the theory and applications in statistical models of set-valued random variables in the work frame of the theory of set-valued random processes. The research contents include: 1) to prove the laws of large numbers of set-valued random variables under the condition of exchangeability but not independence; to discuss the distributions of set-valued random variables, especially the representations of set-valued Gauss distributions and set-valued Brownian motions; to investigate the relationship of the expectations of set-valued random variables and sublinear expectations. 2) In the work frame of the theory of set-valued random variables, we build the linear model of set-valued random variables, revise the existed interval-valued linear models, discuss the unbiasedness, consistency and the asymptotic distribution of the estimators. We also study stationary time series of set-valued variables, including AR, ARMA and ARIMA models, toward to the optimal linear prediction. In addition, based on the conditional expectation and distribution theory, build ARCH model and discuss its applications in finance. 3) We study European Quanto option pricing and a basket of Qiquan pricing with ambiguous return rate and volatility.

由于现实世界中集值数据广泛存在，其统计分析即成为研究者面临的重要任务。本课题是在集值随机变量理论的框架下，讨论集值随机变量统计分析的若干基础问题及在金融中的应用。主要研究1）完善集值随机理论：研究可交换但不独立假设下的集值随机变量的大数定律；研究集值随机变量的分布，特别是集值高斯分布与布朗运动的表示；研究集值随机变量期望与次线性期望之间的关系。2）在集值随机理论框架下，建立集值随机变量线性回归模型，修正已有区间值线性模型，研究估计的无偏性、相合性与分布的渐近性；研究平稳集值时间序列的性质，研究平稳集值时间序列以误差最小为准则的最优线性预报的方法；完善区间值自回归模型、自回归滑动平均模型、自回归求和滑动平均模型的研究；利用集值条件期望及分布理论，建立区间值自回归条件异方差模型；研究集值统计方法在金融中的应用。3）研究带有不确定性期望收益率与波动率下的双货币期权、一篮子期权等期权的定价问题。

本项目完成了如下几方面内容的研究：.(1) 集值随机理论框架下的统计模型的研究：在集值随机理论框架下建立了带约束的区间值线性回归模型，针对异方差问题给出了新的估计方法。研究了平稳集值时间序列的性质，给出其期望和自协方差函数的估计与渐近性质，探讨了最小方差为准则的最优线性预报的方法。研究了区间值自回归模型、自回归滑动平均模型等。.(2) 信任函数理论在聚类分析中的应用研究：信任函数是一种非可加测度,它与其对偶的似然函数分别是集值随机变量的下、上分布。信任函数理论也称证据理论。在证据理论框架下，我们提出了一种新的证据聚类算法，该算法提高了聚类效果，减少计算运行时间，使其适用于大数据分析。还研究了集成聚类新问题，给出三类新的算法，并验证了所提方法的有效性。.(3) 带有不确定性收益与波动的期权定价方面的研究：以往在期权定价研究中，假定风险资产的回报率与波动率为给定的常数或是随机过程。但在实际中，回报率与波动率不仅随时间变化，而且描述它们的随机过程很难确定。但回报率与波动率的变化区间可以估计，因此模型变成带有不确定性收益和波动问题。我们建立了带有不确定性的风险资产的期望回报率和波动率的双货币期权定价的集值随机包含模型，证明了非线性条件期望的表示定理，探讨了定价方法并给出了其定价的上、下界的计算公式。.(4) 非线性期望与倒向随机微风方程(BSDE)生成元的表示定理方面的研究：在比前人工作更为一般的控制条件下证明了任何动态相容非线性估价都可以表示成为BSDE的解。BSDE生成元的表示定理建立其解与生成元的之间的联系，得到了比以往研究更广泛的表示定理。还引入一类系数对过去、现在和未来同时具有依赖的BSDE，在一定条件下证明了适应解的存在唯一性。.(5)复杂系统随机控制方面的研究：在比以往研究较弱的条件下讨论了带有马尔科夫切换的随机泛函微分方程的稳定性；探讨了布朗噪声对一类满足一般多项式增长条件的确定性泛函微分方程爆炸解的随机压制问题；提出了由线性离散噪音驱动的非线性混合随机微分系统，在局部Lipschitz条件下得到了3种稳定性；探讨了离散随机镇定中的几个问题。