饱和非线性薛定谔方程的变分方法与定性研究

This project mainly focuses on the existence and multiplicity of solutions, the types of solutions and the analytical properties of solutions for a class of saturable nonlinear Schrödinger equations and the semiclassical version of these saturable nonlinear Schrödinger equations under the variational framework. These two kinds of models have strong physical background and have important applications in nonlinear optics. Due to the presence of unbounded region for the considered equations, the corresponding energy functional does not satisfy the compactness condition. We aim at obtaining some entirely new and important results by developing new analysis techniques to overcome the difficulties caused by the non-compactness of the functional,and combining with a variety of analytical methods such as nonlinear functional analysis, topology theory and variational methods to systematically study these two kinds of saturable nonlinear Schrödinger equations. From the existing literature, this project has strong innovation in both the mathematical model itself and its research methods. The project research will enrich the theory of partial differential equations, develop new methods and solve new problems. At the same time, it will provide some effective mathematical research methods and frameworks for the mathematics researchers to study the saturable nonlinear Schrödinger equations.

本项目主要在变分框架下研究一类饱和非线性薛定谔方程，及与其密切相关的一类半经典饱和非线性薛定谔方程解的存在性与多重性、解的类型与解的分析性质。这两类模型具有较强的物理背景，在非线性光学中有着重要应用。由于所研究的方程定义区域的无界性，使得其对应的能量泛函不满足紧性条件。我们拟发展新的分析技巧来克服泛函失去紧性所带来的困难，并综合运用非线性泛函分析、拓扑理论和变分方法等多种分析方法，对这两类饱和薛定谔方程进行定性研究，从而得出一些新的和有意义的结果。从现有文献来看，本项目无论是数学模型本身还是研究方法都具有较强的创新性。通过本项目的研究，有助于丰富偏微分方程的理论，发展新的方法，解决新的问题，同时为数学工作者提供一些研究饱和薛定谔方程行之有效的数学研究方法和框架。

饱和非线性薛定谔方程有着深刻的物理背景，在非线性光学、Bose-Einstein 凝聚等领域都有广泛的应用，是当今非线性科学研究领域中一类非常重要的非线性偏微分方程。本项目主要研究了一类饱和非线性薛定谔方程解的存在性与多重性、解的类型与解的分析性质，以及其它一些相关问题。主要成果包括：(1)在密度强度函数为径向对称的情形下，证明了一类半经典饱和非线性薛定谔方程多胞解的存在性；同时，证明了当普朗克常数很小时，多胞解主要集中在密度强度函数的最大值点处；(2)当密度强度函数在平面某局部有界区域上的函数最大值大于其区域边界函数最大值时，证明了饱和非线性薛定谔方程在全空间上正有界态解的存在性，并证明了当普朗克常数很小时，所得到的解集中在密度强度函数的局部最大值点处；(3)当密度强度函数可微时，并在平面某局部有界区域上其梯度满足一定条件时，利用Z2-亏格理论、局部Pohozaev等式讨论法，证明了具有约束半经典饱和非线性薛定谔方程在全空间上存在任意多对解(包括变号解)，并且解是指数衰减的；(4)利用变分方法和临界点理论，证明了一类具有临界指数的Klein-Gordon-Maxwell 系统基态解的存在性；(5)在一定条件下，证明了几类典型的非线性微分方程解存在性及其稳定性结果；(6)利用非线性分析理论，证明了几类微分方程解的存在性，推广了已有结果；(7)研究了其他一些与本项目相关的理论内容：泛函分析中一些重要的算子谱理论以及一些重要泛函不等式。. 项目组圆满完成了预期的研究任务，取得了一系列重要的原创性成果，这些成果大多数发表在重要的学术期刊上。项目计划完成3至5篇，实际完成论文17篇。这些成果有助于丰富偏微分方程的理论，为数学工作者提供一些研究饱和非线性薛定谔方程行之有效的数学研究方法和框架。