变分方法与Dirac系统

Variational methods are important research areas in mathematics. The objects of variational methods are nonlinear differential equations with variational structure. The plan of the project is to deepen the research on several issues for Dirac systems, and obtain both of new achievements about quantum mechanics and development of general variational theory. The main content of this project is as follows: (1) The existence of solutions, multiplicity of almost periodic nonlinear Dirac system will be established; (2) The existence of global and blow-up solutions, and existence, multiplicity, as well as the concentration phenomenon of semi-classical solutions of nonlinear Dirac systems will be obtained; (3) We will develop various variational methos for strongly indefinite problems, especially to establish the theory of Maslov index for nonlinear periodic Dirac systems, and provided a general theory to further research on this kind of indefinite problem, in particular the periodic solutions of infinite dimensional Hamiltonian systems.

变分法是数学研究的重要领域，其研究对象是具有变分结构的非线性问题，具有重要的理论意义和广泛的应用背景。本项目拟通过深入研究Dirac系统的若干问题，一方面获得关于量子力学的新成果，另一方面发展一般的的变分理论。主要探讨如下课题：（1）获得概周期Dirac系统的解的存在性、多重性等结果。（2）拟研究非线性Dirac系统的整体解与爆破解现象、以及其稳态方程的解的存在性、多重性、半经典解的集中现象等。（3）进一步发展强不定问题的变分理论，特别是建立非线性周期Dirac系统的Maslov指标理论，为进一步探讨这类强不定问题特别是无穷维Hamilton系统的周期解提供一般理论。

变分法是数学研究的重要领域，其研究对象是具有变分结构的非线性问题，具有重要的理论意义和广泛的应用背景。本项目涉及的非线性Dirac 方程已被广泛用于建立非线性 Dirac 场的粒子的相对论模型。Dirac 算子具有上方与下方均无界的本质谱、空间R^3上的Sobolev 嵌入是非紧的，从而是典型的强不定问题，因此该系统在变分学中“具有挑战性”。 本项目拟通过深入研究Dirac系统的若干问题，一方面获得关于量子力学的新成果，另一方面发展一般的的变分理论。本项目主要开展了如下课题的研究：分别研究了渐近线性Dirac方程的周期解，带有对称扰动非线性项的Dirac方程的周期解；研究了紧的自旋流形上的非线性 Dirac 方程；研究了非线性Maxwell-Dirac系统以及一类非线性Schrödinger方程。主要在如下方面取得了重要进展：（1）应用变法方法，首次研究并获得了渐近线性Dirac方程周期解的存在性，首次刻画了对应算子的特征值；（2）首次研究并获得了带有对称扰动非线性项的Dirac方程周期解；（3）研究了紧的自旋流形上的非线性 Dirac 方程的分歧现象，初步获得到了新的结构；（4）率先研究并获得了非线性Maxwell-Dirac系统的半经典多重解；（5）深入研究了一类非线性Schrödinger方程的半经典多重解。这些成果均发表在国际知名学术期刊上，丰富了Dirac系统的研究，发展了变分理论。