非线性薛定谔方程暗孤子的变分问题

The dark soliton of nonlinear Schrodinger (NLS) equation, from the point of view of mathematics, corresponds to the solitary wave solution of NLS equation with nonzero boundary condition. Because of the character of nonzero boundary condition, compared with bright soliton ,that is, the solitary wave solution of classic NLS equation with zero boundary condition, the structure and dynamics of dark solitons are much more complicated. In this project, we will apply the critical point theory and variational methods to study two classes of Gross–Pitaevskii (GP) equations with nonzero boundary conditions, arising in the dark soliton theory of NLS equations. One is the local Gross–Pitaevskii(LGP) equation with Dirac delta interaction potential, the other is the nonlocal Gross–Pitaevskii (NGP) equation with Macdonald interaction potential. Precisely, we will focus on the following problems: existence of finite energy traveling waves with any speed less than sound velocity for two dimensional LGP equation; uniqueness of least energy traveling waves for LGP equation; the variational problem with constrained momentum for NGP equation. Through the study on these problems, we will mainly develope the scaling technique and regularization approach for variational functional, which may provide some new ideas for the applications of critical point theory and variational methods.

非线性薛定谔(NLS)方程的暗孤子从数学的角度是指具有非零边界条件的孤立波解。因为非零边界条件的特点，相对于亮孤子(即经典零边界条件的孤立波解)，NLS方程暗孤子的结构和动力学行为都要更为复杂。本项目将主要应用临界点理论和变分方法，研究NLS方程暗孤子理论中的两类具有非零边界条件的Gross–Pitaevskii(GP)方程，一类是含有Dirac delta相互作用势的local Gross–Pitaevskii(LGP)方程，另一类是含有Macdonald相互作用势的non-local Gross–Pitaevskii(NGP)方程，具体内容包括：二维LGP方程在整个亚音速区间内有限能量行波解的存在性；LGP方程最小能量行波解的唯一性；NGP方程的动量约束变分问题。我们将通过这些问题的研究着重发展变分泛函的scaling技巧和正则化方法，为临界点理论和变分法的应用提供新的思路。

在本项目中，项目负责人与合作者主要研究了具有非零边界条件的Gross–Pitaevskii(GP)方程的暗孤子解（数学文献中称之为有限能量的行波解）的存在性问题，并且通过对上述GP方程的极限方程KP-I方程解的衰减性质研究，应用Lyapunov-Schmidt reduction方法证明了在二维空间中当行波速度接近音速时，GP方程都存在暗孤子解。上世纪八十年代，剑桥大学Paul H. Roberts教授研究团队对GP方程的暗孤子解进行了长期的实验和数值研究，并且基于数值分析结果提出了一系列的猜测，如：暗孤子解的存在性、稳定性、对称性等。这些关于GP方程暗孤子解的猜测被统称为"Roberts programme"。从上世纪九十年代末开始，以法国学者F. Bethuel, J.C. Saut为代表的一批数学家开始对 Roberts programme 展开了严格的数学理论研究，特别是在2013年，法国数学家Maris通过研究GP方程对应的能量泛函在Pohozaev恒等式的约束条件下的极小值问题，证明了当空间维数大于或等于3以及行波速度在整个亚音速区间内，GP方程都存在暗孤子解，该结果发表在数学顶级期刊Annals of Mathematics上，它是Roberts programme中的一个突破性进展。到目前为止，二维空间中的GP方程在整个亚音速区间内是否存在暗孤子解仍然是Roberts programme中剩下的最重要的公开问题。我们目前的研究结果是这一公开问题中的重要进展之一。项目负责人还与合作者应用变分方法研究了一类含有调和位势函数和Slater非线性项的稳态非线性薛定谔泊松方程基态解的存在性、渐近行为以及对称破缺性质。项目负责人对于含有奇异位势函数的非线性薛定谔泊松方程解的存在性开展了一系列研究，并且应用约束变分方法，克服了奇异位势函数对能量泛函的伸缩性质产生的影响，找到了合适的逼近解序列，证明了含Hardy和库伦位势函数的非线性薛定谔泊松方程正规化解的存在性。另外，项目参与人与合作者还研究了带有旋转场与势阱耦合的具有非零边界条件的GP方程组的半经典极限问题，证明了这类耦合GP方程组的亮-暗孤子的半古典极限行为，并且分析了亮-暗孤子之间的相互作用，以及旋转场与势阱对亮-暗孤子之间作用力的影响。