Aubry-Mather理论在弱光滑平面微分系统中的应用

In recent years, Aubry-Mather theory has become an important issue in nonlinear science,and it relates to the breakdown of invariant curves and stability of the solutions. The research object of this project is the application of Aubry-Mather theory to weak smooth planar differential systems. The main contents include exploring the sufficient conditions for the existence of Aubry-Mather invariant sets of planar Hamiltonian asymmetric differential systems in the lack of conditions of high order smoothness; deeply discussing planar reversible differential systems still exist Aubry-Mather invariant sets under the conditions of weaker smoothness. The problem is converted into area-preserving map、 symplectic homeomorphism and twist map by introducing appropriate action-angle variable that can overcome the nonsmoothness,and combining with nonlinear analysis,stability theory of differential equation and variational approach. The project research contributes to a better understanding of dynamics stability behavior of planar differential system, enriching and developing the relevant theories and methods of differential equations and dynamical systems.

Aubry-Mather理论是近年来非线性科学所关注的重要问题，该理论与不变曲线的破裂和解的稳定性有关。本项目选择Aubry-Mather理论在弱光滑平面微分系统中的应用作为研究对象，具体内容包括探寻平面哈密顿不对称微分系统在缺乏高阶光滑性的条件下Aubry-Mather不变集存在的充分条件；深入研究在较弱的光滑性条件下，平面可逆微分系统仍存在不变的Aubry-Mather集。我们拟通过引进合适的作用-角变量克服非光滑性，结合非线性分析、微分方程稳定性理论和变分方法，把问题转化成相空间上保面积映射、辛同胚和单调扭转映射进行研究。通过本项目的研究，有助于对平面微分系统动力学稳定性行为作更好的理解，丰富和发展微分方程和动力系统的相关理论和方法。

具有弱光滑的微分系统来源于多个应用学科，关于其解的存在性和解的性质研究具有重要的科学价值和现实意义。本项目主要研究了Aubry-Mather理论在弱光滑平面微分系统中的应用和其它一些相关问题，主要成果包括：(1) 在系统光滑性较低的条件下，研究得到了一类半线性不对称Duffing方程和一类不对称p-Laplacian方程Aubry-Mather集的存在性； (2) 在非线性扰动项光滑性较低的情形下，分别获得了一类超线性可逆系统和一类次线性可逆系统Aubry-Mather集的存在性；(3) 在不对称可逆系统光滑性较低的情形下，分别得到了一类超线性不对称可逆系统、半线性不对称可逆系统与次线性不对称可逆系统 Aubry-Mather集的存在性；(4) 在扰动项光滑性较低的情形下，研究了一类具有周期系数的半线性Duffing方程拟周期解的存在性；(5) 利用拓扑度理论，不动点定理证明了具有导数项的不对称方程无界解与周期解的共存性；(6) 研究了其他一些与本项目相关的内容：泛函分析中一些重要的算子谱理论以及算子表示定理。这些成果进一步揭示了平面弱光滑微分系统动力学稳定性机制，丰富和发展了微分方程相关模型研究的理论和方法。