界面问题的非匹配有限元方法研究

界面的复杂性是困扰非均匀介质中流体力学，电磁传播等问题的理论分析和数值模拟的难点之一。本项目将结合自适应有限元和hp-间断Galerkin方法等现代技术，在非匹配网格（即允许计算网格跨过系数发生间断的界面）上设计一套简单可靠的算法方案，可以系统地处理一般形状的复杂界面问题特别是界面不光滑的问题，并给出相关的理论分析和程序实现。研究目标是：(1)设计一套非匹配网格上的连续有限元格式，使得它对于二维和三维光滑界面问题和一般的形状正则网格均能给出按能量模的最优阶先验误差估计；(2)给出自适应浸入界面有限元方法对于h-加密策略收敛的数学基础；(3)结合 hp-间断Galerkin方法和自适应方法的优势实现满足最优数值复杂性的hp自适应算法。本项目难度较大，具有重要的理论意义和应用价值，将为二维和三维椭圆和Maxwell界面问题的数值模拟作出贡献。

本项目结合自适应有限元方法和hp-间断Galerkin技术，在非匹配网格上求解一般形状的复杂界面（边界）问题，特别是移动界面（边界）问题。研究成果有：(1)设计了一套非匹配网格上的连续有限元格式，对二维问题给出了与界面位置无关的最优阶能量模分析；(2)给出自适应浸入界面有限元方法基于h加密策略的上界误差分析，对于曲边边界问题给出了一个sharp的下界估计；(3) 将自适应浸入界面有限元方法应用于求解时变区域上的抛物型方程，得到相应的后验误差估计子和满足最优数值复杂性的自适应算法；(4) 对于三维曲面边界问题建立了与界面位置无关的最优阶能量模误差估计。