移动界面问题的高阶有限元方法研究

Moving interface problems have wide and important applications in various areas of scientific and engineering computing. The design and analysis of high-resolution numerical methods are difficult research problems of computational mathematics. The purpose of this project is to design high-order finite element methods for three-dimensional moving interface problems based on unfitted meshes in the framework of Nitsche-XFEM. We will prove the stability and error estimates of numerical solutions. We will develop efficient finite element codes for the high-order methods and carry out extensive computations for moving interface problems. The successful implementation of this project is of great significance to improve the numerical theory of moving interface problems and promote the application of multiphase flow in engineering practice.

移动界面问题在科学与工程的诸多领域中都有着广泛而重要的应用，如何对其设计高分辨率数值算法是当今计算数学研究的一个难点问题。本项目旨在基于非贴体网格，在Nitsche-XFEM框架下，研究三维移动界面问题的高阶有限元方法，并证明数值方法的稳定性，给出数值解的误差估计。算法设计的基本思想是对时间离散采用高阶BDF-k格式，对空间离散采用高阶Nitsche-XFEM，从而构造出整体高阶的有限元算法。针对三维移动界面问题的非贴体欧拉网格，我们将研制高阶Nitsche-XFEM计算程序。本项目的成功实施对完善移动界面问题的数值理论，推动多相流在工程实践中的应用具有重要的意义。

自由移动界面的研究是流体力学研究领域中一个很重要的分支。自由移动界面是指在某种因素影响下，随着时间可以自由移动的界面，物理量在该交界面上会发生间断或不连续的变化。自由移动界面问题的核心是研究自由界面的动力学行为。由于自由移动界面条件的间断性和计算区域的复杂性，使得此类流动问题的数学分析非常复杂，采用稳定且高精度的数值方法进行求解是当前主流的研究手段。主要研究内容包含两部分：1）在实际问题模拟中，界面追踪方法的精度很大程度上决定数值模拟自由界面的分辨率，因此界面追踪是多相流中的一个关键课题。2）具有曲边界或曲界面的偏微分方程，其解在界面附近的全局正则性较低，但在子区域内往往具有较高的正则性，传统数值方法仅具有2阶精度，适合实际应用的高阶数值方法和计算程序非常少见，设计高阶、有效且简单的数值方法就显得尤为重要。..本项目在以下几方面取得了重要进展：.1) 在移动界面问题的高阶有限元方法方面，项目组首先针对与时间相关的二维线性和非线性自由界面问题，提出基于非贴体网格的高阶特征有限元方法，证明了数值解的稳定性和严格高阶误差估计（阶数2≤k≤4）。这是耦合界面追踪误差、时间离散误差和空间离散误差的整体收敛性分析。数值算例针对区域大变形、4阶数值格式，获得了最优收敛阶。.2) 研究了带有曲边界区域上的三维不可压Stokes方程的守恒型高阶有限元方法，其中速度用参数化的H(div)协调面单元离散，压力采用参数化间断元来离散，这样得到的离散速度满足精确的无散度。证明了算法的稳定性和高阶误差估计，并开发了三维高阶拟合网格等参有限元的计算程序。