移动界面问题的高阶有限元方法研究

Moving interface problems have wide and important applications in various areas of scientific and engineering computing. The design and analysis of high-resolution numerical methods are difficult research problems of computational mathematics. The purpose of this project is to design high-order finite element methods for three-dimensional moving interface problems based on unfitted meshes in the framework of Nitsche-XFEM. We will prove the stability and error estimates of numerical solutions. We will develop efficient finite element codes for the high-order methods and carry out extensive computations for moving interface problems. The successful implementation of this project is of great significance to improve the numerical theory of moving interface problems and promote the application of multiphase flow in engineering practice.

移动界面问题在科学与工程的诸多领域中都有着广泛而重要的应用，如何对其设计高分辨率数值算法是当今计算数学研究的一个难点问题。本项目旨在基于非贴体网格，在Nitsche-XFEM框架下，研究三维移动界面问题的高阶有限元方法，并证明数值方法的稳定性，给出数值解的误差估计。算法设计的基本思想是对时间离散采用高阶BDF-k格式，对空间离散采用高阶Nitsche-XFEM，从而构造出整体高阶的有限元算法。针对三维移动界面问题的非贴体欧拉网格，我们将研制高阶Nitsche-XFEM计算程序。本项目的成功实施对完善移动界面问题的数值理论，推动多相流在工程实践中的应用具有重要的意义。

移动界面问题在科学与工程的许多领域中都有着广泛而重要的应用，如何对其设计高分辨率数值算法是当今计算数学研究的一个难点问题。项目组经过1年的系统研究，初步完成了项目申请书中的研究任务和目标，取得了预期的进展。个别方向还需要进一步的后续研究来加强，特别是三维移动界面问题的数值模拟。项目组同时在不可压MHD及其界面问题的模型建立、算法设计和数值模拟领域进行了合理的扩展，关注了近年来的热点研究方向，并且在该方向取得了重要进展。..本项目主要研究了：1)二维线性和非线性自由界面问题基于非贴体网格的高阶特征有限元方法及收敛性分析；2)带有曲边界的三维不可压Stokes方程的守恒型、高阶有限元方法及稳定性和收敛性分析；3)MHD及其移动界面问题的高阶数值方法及稳定性和收敛性分析。通过本项目的实施，进一步提升了项目负责人的科研素养，拓宽了学术视野，加强了学术交流。此外，在项目执行期内，项目负责人入选中国科学院人才项目1项，新疆维吾尔自治区人才项目2项。本项目在自然科学基金的支撑下，培养研究生2名。目前共发表SCI论文4篇。本项目的研究对完善移动界面问题的数值理论，推动多相流在工程实践中的应用具有重要的意义。