分数阶反常扩散方程的快速算法及其在最优控制问题中的应用

Normal discretization for fractional anomalous problems usually lead to dense or full coefficient matrices due to the complexity and variety of these problems. The computationa and storage costs are too expensive. In this project, according to the characteristics of each fractional diffusion model, we construct the corresponding finite difference/volume/element schemes to make the coefficient matrices have the special structures of the combination of Toeplitz-like matrices. Based on this and taking the advantage of Toeplitz matrix and the Fast Fourier Transform, various new fast algorithms for 1-D fractional diffusion problems can be proposed by combining the methods of the numerical methods of solving linear algebric systems, e.g., the preconditioned conjugate gradient method. Meanwihile the storage costs can be greatly reduced. We will also extend the fast algorithms to 3-D fractional problems by the usage of the alternating-direction approach. The convection-dominated fractional anomalous diffusion problems will be treated by combining the fast algorithms with the methods of characteristics. The fast algorithms will also be used to solve the fractional optimal control problem. We will study the fast algorithms of the fractional optimal control problem constrained by pointwise/integral case, and give the corresponding a priori, a posteriori errer estimates and the designing of adaptive mesh refinement.

由于分数阶反常扩散问题具有复杂性和多样性，通常的离散方法所得系数矩阵是稠密的或满的，其计算和存储代价极其昂贵。本项目依据分数阶扩散模型的特点构造有针对性的有限差分/有限体积元/有限元等计算格式，使其系数矩阵具有某种基于Toeplitz形式的特殊组合结构，在此基础上，利用Toeplitz矩阵的性质以及快速傅里叶变换，并结合线性方程组的数值算法如预条件共轭梯度法等构造一维分数阶扩散问题的各类新型快速算法，同时极大的减小存储量。结合交替方向法的思想将快速算法推广到三维问题。应用特征线法处理对流占优的分数阶反常扩散问题。将分数阶扩散方程的快速算法用于求解分数阶最优控制问题，研究点态受限、积分受限等各种约束情况下的分数阶最优控制问题的快速算法，并进行相应的先验、后验误差估计及自适应的网格设计。

分数阶反常扩散问题具有复杂性和多样性，通常的离散方法所得系数矩阵是稠密的或满的，其计算和存储代价极其昂贵。本项目主要围绕以下两部分内容开展研究：一是各类分数阶反常扩散问题的数值格式及其相应的快速算法；二是基于分数阶扩散方程的约束最优控制问题的数值方法及分析。对第一部分研究内容，我们依据分数阶扩散模型的特点构造有针对性的有限差分/有限体积元/有限元等计算格式，使其系数矩阵具有某种基于Toeplitz形式的特殊组合结构，在此基础上，利用Toeplitz矩阵的性质以及快速傅里叶变换、交替方向技巧、构造合适的预条件矩阵，并结合线性方程组的有效数值算法如Krylov子空间迭代法等构造和分析了各类分数阶扩散问题的新型快速算法。我们还研究了一类广义非局部弹性模型问题和一类稳态近场动力学的态式模型的快速配置法，这些研究进一步丰富和拓展了快速算法的应用领域。对第二部分研究内容，我们研究了一类同时具有点态约束和积分约束的偏微分方程最优控制问题的自适应有限元算法并给出先验、后验误差估计；并将分数阶扩散方程的快速差分算法成功用于求解基于一类约束分数阶最优控制问题。我们还进一步研究了带有随机系数的约束分数阶最优控制问题的快速随机有限元方法。这些研究成果对分数阶方程及相关最优控制问题的数值模拟及其实际应用具有重要意义。