非光滑近Hamilton系统全局动力学特性的研究

Two types of nonsmooth quasi-Hamilton's systems, including constrained and piecewise forms, are studied in this project. The existence of homoclinic orbit in the unperturbed system with equilibrium points located differently on both sides of the switch surface is analyzed here. The analytic methods and criteria for global bifurcatons are also focused, as well as the mechanism of coexistence of multiple solutions. Since the homoclinic orbit in the unperturbed system of a nonsmooth quasi-Hamilton's one is broken or even disappears due to the effect of switch surface, the commonly adopted Melnikov's method in the theory of global bifurcations will encounter great difficulties if used to analyze the nonsmooth homoclinic bifurcation. Moreover, construction of nonsmooth map(ZDM) which depends on the analytic solutions becomes more complex due to the nonlinear perturbations in the system. The improved ZDM method and Melnikov method will be adopted to investigate the nonsmooth quasi-Hamilton's system here. The action mode of switch surface at different position with the flow near the homoclinic orbit should be clear. And the parametric conditions for the nonsmooth global bifurcations, as well as their features, will be found. Also, the mechanism for coexistence of periodic and chaotic attractors will be revealed here. Finnally, some experiments will be designed and carried out to validate the theories of global bifurcations and coexistence of multiple solutions in nonsmooth quasi-Hamilton's systems.

本项目拟以约束和分段两种类型的非光滑近Hamilton系统为研究对象，主要研究奇点相对切换面不同分布位置下未扰系统同宿轨道的存在性，系统全局分岔的分析方法、解析判据，以及多解共存现象的机理等非线性问题。在非光滑近Hamilton系统中，由于切换面的作用，未扰系统同宿轨道通常被碎化甚至不存在，使得全局分岔理论中普遍采用的Melnikov方法在分析非光滑同宿分岔时存在很大困难；而系统中非线性扰动项的存在，也使得依赖解析解的非光滑映射（ZDM）建立的复杂性大大增加。拟采用改进的ZDM方法和Melnikov方法对非光滑近Hamilton系统进行深入研究，试图厘清在不同分布位置下切换面与同宿轨道附近流的作用模式；探寻发生非光滑全局分岔的参数条件、分岔特性等；揭示周期吸引子与混沌吸引子在相空间共存现象的机理。最后还将通过实验手段验证非光滑近Hamilton系统的全局分岔与多解共存理论的有效性。

非光滑碰振系统广泛存在于航空、航天、机械领域中，由于间隙（接触）、摩擦和物理特性突变等非光滑因素的加入，导致系统发生各种周期或非周期的碰撞振动。绝大多数机械碰振系统在考虑弱非线性扰动的情形下，可以视为非光滑近Hamilton系统。对这类系统进行深入研究，有助于推动非光滑动力学理论，尤其是全局动力学理论的发展；还有助于将解决工程中的许多非光滑动力学问题，从而达到降低噪音、提高耐磨度、增强稳定性的目的。. 本项目拟以非光滑近Hamilton系统为研究对象，主要研究切换面对系统奇点及同宿轨道附近流的影响，系统的全局分岔，多解共存现象等非线性问题。试图厘清不同分布位置下切换面与流的作用模式，探寻非光滑全局分岔的分析方法及解析判据，揭示周期吸引子与混沌吸引子共存行为的机理。. 研究结果包括以下几个方面：1、重点研究了碰振近Hamilton系统在弱扰动下亚谐轨道的存在性；通过构造和应用特殊的Melnikov函数，对一类广义近Hamilton系统局部和全局亚谐解进行了研究，给出了这两种亚谐解的存在条件；研究了切换面（碰撞边界）对亚谐分岔的影响；2、以齿轮耦合系统为研究对象，提出了一种新的分段接触力描述模型。并将Melnikov方法拓展到该系统的研究当中，得到了系统异宿轨道的全局分岔条件，在此基础上研究了含间隙齿轮系统碰振的局部及全局运动的稳定性及分岔特性；3、研究了机械加工系统中车刀的震颤现象，得到了该系统存在稳定周期震颤的条件；4、对三自由度振动筛系统的Poincaré 映射进行了混沌运动反控制研究。该研究应用分岔的显式临界准则对原系统进行了混沌反控制的分析，通过调节控制增益实现了对系统Neimark- Sacker分岔行为的反控制，使振动筛系统产生了混沌运动。