Erdos-Turan猜想及相关的数论问题

In this project, we will study problems in combinatorial number theory. In particular, we will study problems which are concerned by mathematicians P. Erdos, E. Szemeredi, M. B. Nathanson, A. Sarkozy, I. Z. Ruzsa, G. Horvath, N. Hegyvari etc. We will pay more attention to Erdos-Turan conjecture, Erdos-Fuchs theorem,etc and hope that our research will push forward the development of combinatorial number theory. The applicant has rich experience and achievements in scientific research related to this project. There are more than 120 published papers in Amer. J. Math.,J. London Math. Soc., Math. Comp. etc. Among which, there are 39 papers in Acta Arithmetica and Journal of Number Theory. The applicant has rich recent achievements.

本项目主要研究组合数论中的若干问题，特别是P. Erdos, E. Szemeredi, M. B. Nathanson, A. Sarkozy, I. Z. Ruzsa, G. Horvath, N. Hegyvari等感兴趣的一类问题. 将围绕Erdos-Turan猜想、Erdos-Fuchs 定理等进行研究，希望我们的研究能在国际上产生一定的影响，推动组合数论的发展. 本项目申请者已经积累了丰富的研究经验，在该研究领域已有不少成果，在Amer. J. Math., J. London Math. Soc., Math. Comp.等期刊上发表学术论文120多篇，在数论方向两大国际顶级刊物Acta Arithmetica和Journal of Number Theory已发表论文共 39篇. 申请者的近期成果丰富.

本项目主要研究组合数论中的几类问题，特别是表示函数，Sierpinski问题,完备数列，加法补集及数论函数等。项目执行期间，项目组共发表SCI收录期刊论文40篇，其中在数论方向的两大顶级期刊Acta Arithmetica 和Journal of Number Theory上共有14篇。项目负责人陈永高有3名博士生毕业并获博士学位，有8位硕士生毕业并获硕士学位。.主要研究成果如下：(1) 表示函数 本项目在Eur. J. Comb.，J. Number Theory, Bull. Aust. Math. Soc. 等上发表了表示函数方面的研究论文。本项目推广了著名数学家A. Sárközy 和V. T. Sós关于表示函数的结果。（2）Sierpinski问题. 每个大于u(k)的整数总可以表成k个两两互素的大于1的整数之和，但u(k)不可以表示。用C(k)表示u(k)减去前k个奇素数所得的差。1965年，著名数学家P. Erdos证明了C(k)至多取有限个值。前一基金项目中，我们证明了C(k)至多取125个（明确的）值，本项目中，本项目证明了这125个值都可以取到。 （3）指数型数列的完备性 一个正整数序列称为完备的是指每个充分大的正整数总能表示成这个序列中一些不同项的和。本项目给出了Erdos-Birch定理的一个定量形式；解决了P. Erdos提出的关于整除完备性一个问题。（4）加法补集的研究 设A,B是由正整数组成的无穷数列， 如果每一个充分大的正整数均可表成A中数与B中数的和， 则称A,B为无穷加法补。本项目大幅度改进了著名数学家A. Sarkozy (匈牙利科学院院士) 和 E. Szemeredi (2012年Abel奖获得者) 1994年的一个结果， 并否定了他们的一个猜想。 我们也研究了B是所有平方数所成的集合时的加法补问题，部分解决了著名数学家B. Green最近提出的一个问题。