Erdos-Turan猜想等相关加性问题的研究

In this project, we mainly study the Erdos-Turan conjecture, representation function problems posed by Sarkozy, and some problems of additive complements. First, we study the Erdos-Turan conjecture and some related problems by using Single's lemma, the theory of finite fields, generating functions, and so on. Next, using exponential sum and some combinatorial methods, we study representation function problems, including cases of partitions of natural numbers and partitions of cyclic groups modulo m. Finally, we study some problems related to additive complements by using the theory of cyclotomic polynomials and some combinatorial methods.

本项目主要研究Erdos-Turan 猜想、Sarkozy 教授提出的表示函数问题以及加法补问题。运用Single 引理、有限域理论、生成函数方法等分析研究Erdos-Turan 猜想以及与其相关的一些问题；运用指数和方法以及一些组合方法研究表示函数问题，该问题包括整数分拆情形以及模m循环群的分拆情形；采用分圆多项式理论及一些组合方法对一些加法补问题进行研究。

借助于Sarkozy-Lev引理，给出了与Erdos-Turan猜想相关的Ruzsa数的最佳下界，解决了一个具有十年历史的公开问题; 利用示性函数，给出了在模m循环群中具有相同表示函数的极端对称差的分拆进行了完整的刻画; 利用组合方法，对周期序列的极小加法补的存在性就行了研究，给出了周期序列极小加法补存在性的一些刻画; 对于Erdos互数的极值问题，主要借助于Pintz关于素数差的一个结果，更加完善的解决了Erdos的一个猜想; 利用初等数论中的升幂定理，改进了牛传泽与刘文新关于Powful数的一个结果.