非交换分析的某些问题与应用

This project focuses on some problems of noncommutative analysis and applications, including: 1) Endpoint cases of noncommutative analysis inequalities associated with convex functions, such as the associated martingale, maximal and maximally ergodic inequalities, which play a crucial role in the analysis of quantum fields. 2) Quantum Markov semigroups and noncommutative Markov fields on type III von Neumann algebras. Developing theory of quantum Markov semigroups and noncommutative Markov fields is one of current studies of applying noncommutative analysis to quantum field theory. 3) Quantum geometric phases. They mathematically relate with the topological and geometric properties of a quantum system. How understanding the topological phases of matters is the main program in mathematical physics. We will apply noncommutative analysis to the study of quantum geometric phases with applications to topological phases. This project is a clearly stated and interdisciplinary program.

本项目将集中研究非交换分析中的一些具体问题及其应用，主要是：1）联系凸函数的非交换分析不等式的端点情形，即当凸函数示性指标为1或无穷时的非交换鞅不等式、非交换极大不等式以及非交换遍历不等式等。这些端点不等式在量子场的分析结构研究中将发挥重要作用。2）III型von Neumann代数上量子Markov半群理论和 非交换Markov场。发展III型von Neumann代数上量子Markov半群理论和非交换Markov场是目前非交换分析应用于量子场论的重要课题之一。3）量子几何相位的相关研究。量子几何相位在数学上对应于量子系统的拓扑和几何。如何理解量子系统的拓扑和和几何，特别是开量子系统的拓扑相，是当前数学物理前沿领域的重要课题。我们将运用非交换分析的最新结果和方法开展这方面的研究。本项目是一个研究内容具体、研究目标明确的交叉研究课题。

该项目研究了非交换分析中的一些前沿问题，包括非交换对称空间上的内插与John-Nirenberg不等式、观测量几何相位、算子几何及其在拓扑相的应用、非厄米量子力学公理系统、非交换Hardy鞅空间原子分解以及不可压Navier-Stokes方程的量子结构等内容，得到了一些有意义的结果。这些结果对于量子信息理论具有潜在的应用前景。