非交换Calderon-Lozanovskii-Hardy空间和加权非交换Hardy空间的研究

In the project, some problems related to the theory of noncommutative harmonic analysis and noncommutative function spaces is considered. As an essential part of the theory of noncommutative analysis, they are also an active research orientat- ion in the field of functional analysis.At first, interpolation spaces, space of multipliers, dual spaces, as well as product spaces of noncommutative Calderon- Lozanovskii spaces and weighed noncommutative Lp spaces are considered by using some method developed in the research on noncommutative symmetric spaces theory and noncommutative Lp space. Then, a series of problems in noncommutative Calderon -Lozanovskii-Hardy spaces and weighted noncommutative Hardy spaces are studied by means of the theory of noncommutative Hardy spaces, including Szego and Riesz type factorization theorem, interpolation spaces, dual spaces,factorization properties of subdiagonal algebras, inner-outer type factorizations and characterization of outer elements, Beurling theorem, Nehari-Type theorem, etc.The above problems will be firstly considered when von Neumann algebra is finite, thus we will extend it to the case of semifinite.

本项目拟研究的内容是与非交换函数空间理论和非交换调和分析相关联的一些问题。它们是非交换分析理论的有机组成部分，也是当前泛函分析领域中的一个比较活跃的研究方向。首先我们将借助人们研究非交换对称空间和非交换Lp空间的方法来研究非交换Calderon-Lozanovskii空间和加权非交换Lp空间上的乘积空间、对偶空间、插值空间、乘子空间等问题。然后再结合非交换Hardy空间理论中的方法来研究非交Calderon-Lozanovskii-Hardy空间和加权非交换Hardy空间上的一系列问题，包括Riesz和Szego型分解定理、插值空间、对偶空间、内-外分解和外算子的性质、次对角代数的分解性质、Beurling型不变子空间定理、Nehari-Type定理等问题。我们将先在有限von Neumann代数的情形下讨论上述问题，然后再推广到半有限的情形上去。

本项目的研究内容是属于非交换分析范畴的一类问题，也是当前泛函分析领域中的一个比较活跃的研究方向。在本项目的研究过程中我们系统的研究了非交换Calderon-Lozanovskii空间和非交换Calderon-Lozanovskii-Hardy空间上的一些问题。首先，我们给出了非交换Calderon-Lozanovskii空间的乘积空间，复插值空间，左乘算子空间的刻画，A不变子空间的刻画和Yosida-Hewitt定理等结论。特别地，我们还给出了非交换Calderon-Lozanovskii空间的复插值空间与乘积空间之间的关系，由此可以得到非交换Calderon-Lozanovskii空间的空间分解性质，依次为基础我们还得到了非交换Calderon-Lozanovskii-Hardy空间上复插值空间的一个类似刻画。其次，我们给出了非交换Calderon- Lozanovskii-Hardy空间的直和分解，对偶空间，Szego分解，乘积空间和复插值空间关系的刻画等结论。同时我们还给出了次对角代数在非交换Calderon-Lozanovskii空间上的分解性质等结论。最后，我们还给出了具有全序结构的可数离散群上的Paley不等式和有关算子均值的一些Log优化不等式等结论。这些结论虽然可以看成是经典函数空间上的理论的非交换类似，但是非交换的证明有时需要完全不同的思路。因此通过本项目的研究能为经典的(拟)Banach空间理论的完善和发展提供新的方法和实例。同时我们相信对此类空间的进一步的研究还将在相应的领域中引出新的研究前景，这就使得本项目的研究具有重要的理论和实际意义。