超过程的Williams分解、大偏差和中偏差定理

The genealogy of superprocesses has been studied by many people in recent years. Williams' decomposition characterizes the genealogy structure of superprocesses conditioned on the extinction time being h. Delmas and Henard (2013) established a Williams' decomposition for superprocesses with binary branching mechanisms. In this project, we will study Williams' decomposition for superprocesses with general spatial dependent branching mechanisms. As an important application of Williams' decomposition for superprocesses, we will study the limiting behavior of superprocesses, with general spatial dependent branching mechanisms, near extinction. We will also investigate moderate and large deviations for branching processes and superprocesses, including the following three problems: 1) study moderate and large deviations for subcritical multitype continuous time branching processes with immigration; 2) investigate moderate and large deviations for occupation times of subcritial superprocesses with immigration and generalize the results of Hong and Li (2005) which dealt with superprocesses with spatial independent binary branching mechanisms; 3) study moderate and large deviations for supercritical branching Markov processes and superprocesses.

近年来，超过程的谱系结构的研究受到很多学者的重视。本项目将研究具有一般分枝机制的超过程的Williams分解，刻画超过程在灭绝时刻为h时的谱系结构。Delmas和Hénard (2013)解决了分枝机制为二分枝的超过程的Williams分解，我们将对其结论进行推广。同时作为Williams分解的一个重要应用，我们将研究具有一般分枝机制的超过程在趋近灭绝时刻时的极限行为。本项目还将研究分枝过程和超过程的大偏差和中偏差定理，主要包括以下三方面内容：1) 研究带移民的下临界多物种连续时间分枝过程的大偏差定理和中偏差定理; 2) 解决带移民的具有一般分枝机制的下临界超过程的占位时的大偏差定理和中偏差定理，推广Hong和Li(2005)中的结论; 3) 研究上临界分枝马氏过程和超过程的大偏差和中偏差定理。

本项目的研究对象为一类测度值马氏过程-超过程。我们主要研究了两方面内容。第一部分：我们给出了超过程到灭绝时刻的谱系结构（Williams 分解）。Delmas-Henard（2013）讨论了分枝机制为二分枝的情形，我们将Delmas-Henard的结论推广到具有一般分枝机制的超过程。同时作为Williams分解的一个重要应用，我们证明了某些超过程标准化后，在灭绝时刻会收敛到一个随机的单点测度。第二部分：假设X是局部紧可分距离空间上的上临界超过程，由均值半群的无穷小生成元的第一特征值和与第一特征值对应的正特征函数，可以构造一个重要的非负鞅。该非负鞅存在几乎处处收敛极限，该极限是非退化的当且仅当 LlogL条件成立。当LlogL条件不一定成立时，我们给出了试验函数为第一特征函数时，超过程的收敛速度。我们也给出了对于一般试验函数的几乎处处收敛的极限定理。进一步，我们研究了该极限的性质，证明它在正半轴上存在严格正的密度函数，并研究了它的小值概率问题和尾概率问题。