界面问题的求解算法研究

Partial differential equations are widely used to model real-world problems. Due to the heterogeneous characteristics of many naturally occurring materials and manmade structures, devices, and equipments, one frequently needs to solve problems with discontinuous coefficients. The development of high order elliptic interface schemes has been an active research field for decades. However, there is few work on fast solver for the discreted systems of the interface problems, especially the problems with complicated interfaces and high contrast coefficients. The main subjuct of this research is to design and analyze the fast solvers， i.e., multigrid methods，for the discreted systems of the unfitted finite element methods for interface problems, such as second order elliptic interface problems, linear elastic problems, and Stokes interface problems.

偏微分方程被广泛用于描述实际问题，由于许多自然材料或人造结构、设备的不均匀性，人们通常需要求解带间断系数的问题，即界面问题. 数十年来，如何构造界面问题的高精度格式一直是很活跃的研究分支. 但是，在如何快速求解界面问题离散系统方面的研究还比较少，特别是求解界面几何形状复杂且系数强间断问题的离散系统方面. 本课题主要研究基于非界面匹配网格的有限元离散二阶椭圆界面问题、线弹性界面问题、以及Stokes界面问题的快速求解算法，特别是多重网格方法.

偏微分方程被广泛用于描述实际问题，由于许多自然材料或人造结构、设备的不均匀性，人们通常需要求解带间断系数的问题，即界面问题。 我们主要研究界面问题，特别是二阶椭圆界面问题、Stokes界面问题等，基于非界面匹配网格，我们提出了一些行之有效的离散方法，在界面具有一定的光滑性的假设下，理论上证明了这些方法与界面形状和位置无关，且具有最优误差估计。结合多面体网格剖分，将通常的有限元与虚拟有限元方法相结合，在此基础上提出了多重网格预处理方法，数值结果表明其最优性。