高度非均质多孔介质中Richards方程的高效数值方法

The study of flow and transport in unsaturated porous media plays an important guiding role in water resources management and water pollution prevention. Richards equation is a classical model describing fluid flow in unsaturated soils. Due to the heterogeneity of the medium, the highly non-linear constitutive relation and the complexity of solution region, Richards equation can only be solved by numerical methods, and there are still many difficulties in its numerical solving. This project aims to develop fast and efficient numerical methods for solving Richards equation in highly heterogeneous porous media, capturing the high heterogeneity of Richards equation while maintaining the conservation of mass, and are capable of dealing with some complicated media. This project consists of the following three parts: 1) in the framework of mixed finite element method, the generalized multi-scale finite element method is used to construct a multi-scale solver to obtain accurate numerical solutions on a coarse grid; 2) a fine-mesh iterative solver is designed to satisfy the need of high-precision solutions, so that its convergence does not depend on the contrast of the medium; 3) develop an efficient and robust adaptive local-global model reduction method, to facilitate computation for situations requiring multiple fluid simulations such as uncertainty quantification.

研究非饱和多孔介质中的流动和输运问题，对水资源管理和水污染防治具有重要指导作用。Richards方程是描述非饱和土壤中流体运动的经典模型。由于介质非均质、本构关系高度非线性以及求解区域复杂等原因，使得Richards方程的求解只能借助数值方法，且其数值求解存在诸多困难。本项目拟发展求解高度非均质多孔介质中Richards方程的快速高效的数值方法，使其在保持质量守恒性的前提下捕捉Richards方程的高度非均质性，并且适用于处理一些复杂的介质。本项目主要包含以下三部分内容：1）在混合有限元的框架下，利用广义多尺度有限元方法，构造多尺度求解器，实现在一个粗尺度网格上精确而有效地获得数值解；2）针对高精度解的需求，设计细网格迭代求解器，使其收敛不依赖于介质的对比度；3）发展高效稳健的自适应局部-全局模型约化方法，从而为需要多次流体模拟的情形如不确定性量化提供有力条件。

对于非均质介质中的问题，如油藏模拟、复合材料等，传统的有限元方法无法给出满意的数值解，因此有必要探索求解此类问题的高效数值方法。本项目主要完成了以下内容：（一）对于高度非均质介质中的达西流以及两相流体和输运问题，在混合有限元法、杂交间断有限元框架下，完成了多尺度基函数的构造，并在此基础上得到了具有质量守恒性的粗网格数值求解器,实现快速求解。另外，结合超样本技术和局部残量误差估计子，设计了在线基函数更新方法，能极大提高收敛速度。最终得到的粗网格求解器求解效率高，所产生的数值解精度高，速度场具有质量守恒性。研究成果已撰写成2篇论文发表在Journal of Scientific Computing。其中在线基函数更新方法可以用于Richards方程的系数时空变异后更新基函数。（二）对于Richards问题，其高度非线性性的处理是难点之一。本项目对非线性的处理方法是：先用Picard迭代方法对其进行线性化，然后把前一步解的一个尺度提升量作为参数，从而转化为一个具有参数的线性问题。由于在迭代的每一步都要求解具有参数的线性问题，因此有必要设计高效的数值求解器，使其收敛不依赖于参数。对具有参数的线弹性问题设计了高效的两网格预条件子细网格求解器，其收敛不依赖于参数和高对比度，相应结果已撰写成论文发表在期刊Journal of Scientific Computing。