几类分数阶非线性种群扩散模型的理论研究和数值分析

This project will study some fractional nonlinear population diffusion models, including time-fractional diffusion equation models, space-fractional diffusion equation models and time-space fractional diffusion equation models, especially study the fractional-order Fisher’s equation describing the single species reaction diffusion and the fractional-order Lotka-volterra predator-prey models of two interaction species. In reality, the spread of the population is a very complicated phenomenon, especially in the nonuniform spatial distribution. However, the fractional differential operator has nonlocality, spatial correlation and temporal heredity, which can describe the complex diffusion phenomenon between different populations at a certain level. Thus, work on the fractional nonlinear population diffusion models, study the mathematical theory and numerical calculation and research the development of the population evolution can adjust and control the population development, provided some reference value for the population protection and utilization. Meanwhile, the exploration in fractional-order theoretic and computational methods can also enrich research content of the fractional calculus. Therefore, the theoretical study and numerical calculation based on fractional nonlinear population diffusion models is not only continued perfection for fractional calculus, but also has important meanings for researching population development in aspect of theory and reality.

本项目主要研究几类分数阶非线性种群反应扩散模型，包含时间分数阶种群模型、空间分数阶种群模型以及时间－空间分数阶种群模型，特别地考虑描述单种群反应扩散的分数阶Fisher方程以及两种群相互作用的分数阶Lotka-Volterra模型。在实际生活中，种群的扩散是非常复杂的现象，尤其是在空间分布不均匀的条件下，而分数阶算子具有非局部性，具有空间相关性和时间上的遗传性，从而在一定程度上能够很好地刻画种群间复杂的扩散现象。因此，从分数阶种群模型出发，通过模型的理论研究和数值分析，研究种群的发展演化规律，对于调节和控制种群发展，并对种群的开发利用以及保护提供了一定的研究价值。同时，对于分数阶微积分方程新理论和新方法的探讨，也将丰富分数阶微积分的研究内容。总之，基于分数阶非线性种群反应扩散模型的理论研究和数值分析，对于微积分学和种群发展研究都具有现实的理论意义和重要的应用价值。

本项目课题主要研究了几类分数阶非线性种群扩散模型的数学理论及其数值计算，即研究时间分数阶、空间分数阶以及时间—空间分数阶的单种群Fisher方程以及多种群的Lotka—Volterra方程组。首先，我们研究了时间分数阶、空间分数阶和时间-空间分数阶的单种群Fisher方程模型，应用先验估计等方法讨论其解的适定性，借助有限差分法等方法求得其近似解。其次，我们重点研究时间分数阶的多种群相互作用模型，即分数阶的Lotka-Volterra方程组，利用稳定性分析方法和同伦摄动方法研究了该方程组的近似精确解和数值解（Guo C.H. etal. Approximate analytic solutions for the fractional multispecies Lotka-Volterra equations）。研究结果表明，分数阶Lotka-Volterra方程组具有与整数阶Lotka-Volterra方程组类似的稳定性结果，即在一定条件下，生物种群数量最终也会达到平衡状态，只是系统达到稳定平衡状态所花的时间有所不同。当分数阶导数越大时，种群达到平衡状态所花的时间就越短，反之则越长。同时，利用Matlab和Maple软件进行数值计算和模拟，其也验证了理论分析结果。另一方面，针对各种分数阶微分方程组，我们利用稳定性分析方法和同伦摄动方法等也求得其精确解，因此这些方法可作为研究其他分数阶微积分方程的工具和手段。总之对于分数阶非线性种群扩散模型的数学理论研究和数值分析，对于丰富分数阶微积分学基本理论和研究生态种群发展具有重要的参考价值，也为偏微分方程在其他方面的应用研究奠定了良好的研究基础。