时间分数阶扩散-波动方程的数值算法研究

Time fractional diffusion-wave problems have attracted a considerable amount of work in the past thirty years, and now it is a very active field of research. In the past decade, some researchers employed discontinuous Galerkin (DG) method and Petrov-Galerkin (PG) method to approximate the time fractional operator. However, the numerical analysis available is generally carried out with some regularity assumption on the solution, and how to develop space-time finite element methods for time fractional wave problems with nonsmooth initial values is not clear, due to the singularity of the solution. This project will analyze the DG and PG methods for fractional diffusion-wave problems with nonsmooth data, develop new space-time finite element methods, and derive the a posterior error estimate for these methods. This project will also apply these theoretical results to nonlinear time fractional diffusion-wave problems and optimal problems governed by the time fractional diffusion equation.

在过去的三十年内时间分数阶扩散-波动方程吸引了大量的工作，目前已经成为非常活跃的研究领域。最近十年内，部分学者开始研究使用间断有限元(DG)或者Petrov-Galerkin 有限元(PG)方法来离散时间分数阶算子，从而构造灵活的高阶精度算法。目前的理论分析大都建立在理论解满足一定正则性假设的基础上，但是时间分数阶扩散-波动方程的一个特点就是解一般情况下都是有奇性的，不管已知数据多么光滑。本项目拟系统研究时间分数阶扩散-波动方程的DG和PG方法，建立不同范数下的最优误差估计理论，特别是在非光滑源项和初值条件下推导出关于正则性最优的误差估计，构造并分析新的时空有限元方法。同时，拟建立这些方法的后验误差估计理论，并将相应的理论结果应用于非线性时间分数阶扩散-波动方程和时间分数阶扩散方程的最优控制问题。

在过去的三十年内, 由于非局部建模在物理、生物、概率等领域的广泛应用, 时间分数阶扩散-波动方程的数值分析成为非常活跃的研究领域. 本项目主要研究使用间断有限元(DG)或者Petrov-Galerkin (PG)有限元方法来离散时间分数阶算子, 从而构造灵活的高阶精度算法. 本项目系统地分析了一类使用DG/PG来离散时间分数阶算子的数值方法, 建立了这类方法在光滑和非光滑数据下的误差估计理论, 建立了使用等级网格提高时间精度的理论. 项目将得到的理论结果应用到基于时间分数阶扩散方程的分布最优控制和Dirichlet边界最优控制的数值逼近，建立了在非光滑数据下的误差估计，并用数值实验验证了理论结果。