非线性时间分数阶反应扩散方程爆破问题的高效数值算法研究

Nonlinear time fractional reaction-diffusion equations have been widely used in many fields of science and engineering,blowup in finite time is an important dynamic property of the fractional reaction-diffusion equation,which can more accurately reflect the unstable state of anomalous diffusion and other processes.Therefore,it is of great theoretical significance and practical application value to study the non-uniform mesh numerical algorithm for blowup problems. In view of the fact that most of the current studies focus on one-dimensional problems and the low-precision schemes are used in numerical algorithms, this project will focus on three kinds of nonlinear time fractional reaction-diffusion equations with different blowup behaviors. Firstly, several high order compact difference schemes on non-uniform grids are established by using spectral deferred correction, high-order interpolation, superconvergence and compact difference techniques, then the convergence and stability of the scheme are studied; Based on these new established schemes, an efficient mesh adaptive algorithm is further established to simulate blowup behaviors, revealing the quantitative results of blowup time, spatial location, and the relationship between blowup behavior and fractional derivative exponent. The research results of this project are not only helpful to enrich and develop the numerical solution of fractional differential equation, and also provide computation support for the application of combustion environment optimization design.

非线性时间分数阶反应扩散方程在科学与工程技术的众多领域应用广泛，解或解的导数在有限时刻爆破是方程的一类重要性质，能够更精确反映反常扩散等过程的不稳定状态。然而，爆破通常发生在局部区域，使得均匀网格方法不能对其高效数值求解，因此研究爆破问题的非均匀网格数值算法具有重要的理论意义和实际应用价值。鉴于目前的研究大多针对一维问题、且数值算法几乎都采用低精度格式，本项目拟针对三类具有不同爆破特性的非线性时间分数阶反应扩散方程，首先利用谱亏损校正方法、高次插值、超收敛和紧致差分等技巧建立非均匀网格上的高精度紧致差分格式，并研究其稳定性和收敛性；在此基础上，进一步建立高效的网格自适应算法研究解的爆破行为，揭示爆破发生的条件、时间、空间位置，以及爆破行为与分数阶导数指数的变化关系等。该项目的研究成果不仅有利于丰富分数阶微分方程的数值解法，也可为燃烧室优化设计等实际问题的解决提供强有力的理论支持和计算手段。

分数阶微分方程在众多领域有着重要的应用，由于分数阶微分算子的非局部性等特征，很难求得方程的解析解，即使可以求出某些方程的解析解，表达式中的特殊函数使得应用很不方便。因此，如何构建高效的数值方法显得非常重要。近年来，分数阶微分方程的数值算法是计算数学等领域的一个研究热点，其研究因涉及分数阶导数的奇异性和历史记忆性而充满挑战。. 解的爆破现象是科学与工程问题中经常出现的重要现象，揭示了复杂动力学过程的不稳定状态，实际应用中有时需要控制、避免不稳定状态的发生，有时需要激励某不稳定状态的发生。因而，捕捉爆破点或在爆破点附近高精度的数值方法是一个重要的问题。. 本项目围绕三类非线性时间分数阶反应扩散方程的不同爆破现象，开展了高效数值算法研究。由于爆破通常发生在局部区域，常见的均匀网格数值方法可能会捕捉不到爆破点。因此，按照申请计划，我们首先研究了离散时间分数阶导数的非均匀网格算法，提出了高阶校正L_k格式，并应用于非光滑初值的分数阶次扩散方程的求解；其次，针对研究内容中的非线性时间分数阶反应扩散方程的一类爆破问题，以二维时间分数阶Allen-Cahn方程为例，设计了一种逼近时间Caputo分数阶导数的非均匀网格时间离散算法，并结合局部不连续Galerkin有限元方法，建立了求解该模型的高阶稳定数值方法；第三，针对内容中含有对流项的非线性时间分数阶反应扩散方程，以时间分数阶对流占优扩散方程为对象，我们分别研究了一维和二维问题的高效数值求解方法，设计了两种量身定做有限点格式（Tailored Finite Point Methods），建立了无条件稳定的高效数值方法，并通过选取不同扩散系数进行了数值模拟，实现了对边界层爆破现象的有效模拟；第四、以二维时间分数阶Cattaneo方程为对象，利用SOE技巧和离散Sine变换，建立了快速紧致有限差分算法，实现了紧致差分格式构建这一研究目标；同时，我们也探讨了一些分数阶方程爆破问题的理论分析，以分数阶薛定谔方程为对象，获得了有限时刻爆破的部分理论结果。