几类分数阶微分方程的数值计算方法研究

The nonlocal fractional differential operator led to large amount of calculation. So the stable and effective schemes are very useful. In this proposal, the numerical algorithms for some frequency-dependent dissipation models with fractional order, time-space Riesz fractional diffusion equation and distributed order equations are studied. We aim to construct some stable and effective numerical methods for fractional differential equations. Based on these methods, we will give the effective numerical programs and do some numerical examples to check these methods. Then we will obtain effective packages that are actually available. These problems in this project are the cutting-edge topics, which have some certain research foundation.

分数阶微分算子的非局部性质会引起离散化方程计算量大、计算复杂等问题，所以稳定有效的数值算法的研究工作十分重要。本项目的主要研究内容是研究几类分数阶微分方程问题的数值算法。包括声波反常能量耗散分数阶拉普拉斯算子方程、时间空间复合型 Riesz 分数阶对流-扩散方程和具有分布式指数的分数阶微分方程的数值算法研究。旨在寻求稳定高效的数值计算方法，并进行编程，完成数值实验，以期得到实际可用的有效程序包。本项目拟研究的问题都具有一定的研究基础，并且是非常有实际价值的研究方向。

近年来，分数阶微分方程在国内外各学科领域都有比较广泛的应用，由于分数阶微分方程求解难度较高，对于其数值求解方法的研究尤为重要。该项目在执行期间，主要研究内容包括对几类分数阶微分问题的数值计算方法的研究。主要包括三部分，首先是对混合阶数分数阶偏微分方程的数值计算方法的研究；然后对变阶数时间空间分数阶微分方程数值计算方法进行了改进和分析；进而在算法的应用方面也做出来一定的工作，包括对分数阶微分动力系统的计算和模拟等。理论研究过程中，对于分数阶导数的近似采用了较高阶的算法，并证明了方法的收敛阶和稳定性等相关分析结论，为今后开展分数阶微分方程组，以及分数阶动力系统的数值模拟等工作打下良好的基础。