Jacobi行列式和Hilbert变换中的若干问题及应用

In this project we shall study the following problems. 1. Consider the Jacobi determinant of a map which is viewed as a group of functions as a multilinear operator. We want to know (1) when the Jacobi determinant is a distribution or lies in the Hardy space and (2) whether there is a group of funtions in the corresponding funtion sapces such that the Jacobi determinant equals to a given funtion. 2. For the Hilbert transforms along curves and various generation, we shall study their boundedness between Lebesgue space along the general curves. 3. As an application of technique in modern harmonic analysis, we plan to study the energy identity and necklessness of a sequence of approximate harmonic maps and Sacks-Uhlenbeck maps from a Riemann surface to a Riemann manifold. 4. We will also study the boundedness of some other opertors in modern harmonic analysis, such as the Hausdorff operator.

在这个项目中我们主要研究以下几个方面的内容。 一、 一个映射的Jacobi行列式可以看成作用在这个映射各个分量函数上的多线性算子。我们研究（1）对于什么样的一组函数，相应的Jacobi行列式是一个分布或者属于Hardy空间；（2）是否存在相应空间中的一组函数使得其Jacobi行列式是预先给定的函数。 二、对于沿曲线的Hilbert变换以及各种推广，我们研究其在一般曲线下在Lebesgue空间上的有界性。 三、作为现代调和分析技术的应用，我们研究从两维Riemann曲面到一个Riemann流形之间的逼近调和映照序列和Sacks-Uhlenbeck序列在收敛过程中的能量恒等式和图像联通性质。 四、此外我们还打算研究现代调和分析中另外一些算子（例如Hausdorff算子）的有界性问题。

在本项目资助下，总共发表或者即将发表三四十篇SCI论文（研究成果只选取了部分），主要由本人完成的9篇。其中最重要的成果是本人和李嘉禹教授关于Sacks-Uhlenbeck序列的工作，该论文即将发表在著名杂志Annales de l'Institut Henri Poincaré C, Analyse non linéaire。..关于调和映照序列的能量恒等式，我们之前已经有不少工作，其中关键的工具是利用Jacobi行列式的特殊性质。在本项目资助下，我们进一步利用该工具以及椭圆方程在Lorentz空间上更精细的估计，彻底证明了目标流形是球面时Sacks-Uhlenbeck序列的能量恒等式成立并且在收敛过程中产生的有限个调和球面是连通的。这个结果可以应用于Perelman对Poincare猜想的证明。而对于一般目标流形，这两个结论都可能是错误的。..除此之外，我们在Jacobi方程、Hausdorff算子、幺模乘子、曲线上的Hilbert变换等领域取得了一定成果。最后，在本项目资助下，项目组其他成员在现代调和分析各领域也取得丰富的研究成果。