调和映照理论中的若干问题

本项目中我们主要研究调和映照理论中的几个重要问题：.1.考虑两个流形之间一列能量有界的映照，我们将研究在什么样的挠率张量条件下相应的能量恒等式成立，以及产生的调和球面和极限映照的像是连通的。.2.在高维调和热流的正则性问题中，拟调和球面起着关键作用。我们将研究拟调和球面存在性和调和球面存在性之间的关系，还将研究拟调和球面在无穷远处的收敛性质。.3.我们还打算研究高维稳定调和映照的奇点集维数及性质问题。.在上述问题的研究中，调和分析技术或者说精细的分析技术有大量应用。此外我们还计划研究一些相关的分析问题，例如流形上的特征值估计等。

这个项目我们主要研究调和映照和现代调和分析中的一些其它问题。在这个项目资助下，共发表SCI论文6篇，中文核心一篇，另外还有若干论文正在投稿中。.　　　调和映照课题是这个项目的主要部分，在这个课题主要取得了以下结果。.关于两维逼近调和映照序列，对于一般的目标流形，如果挠率张量在$L^(\frac 65)$中一致有界，我们证明了这列映照的能量恒等式和像的连通性都成立，这个结果推广了一系列已知结果。如果该序列映照的挠率张量在Zygmund类中一致有界，则相应的爆破分析理论成立，在更弱的条件下这个理论一般不成立。.当目标流形为标准球面时，对于两维逼近调和映照序列，当挠率张量在Zygmund类中一致有界，我们在11年证明了能量恒等式成立，同时构造了例子说明在这条件下像的连通性质可能不成立。现在我们在稍强一点的条件下证明了像的连通性也成立，这样当目标流形为标准球面时，这类问题基本得到了解决。.当目标流形为标准球面时，对于Sacks-Uhlenbeck序列，我们在今年证明了能量恒等式成立，这个结果可以应用于Perelman对Poincare猜想的证明。同时，我们证明这种情形下像的连通性也成立。而对于一般目标流形，这两个结论都可能是错误的。这个工作正在投稿中。.关于Hardy算子,Hausdorff算子，沿变量曲线的Hilbert变换以及沿曲线超奇性振荡Hilbert变换，我们得到了一系列有趣的结果，这些工作部分已发表，部分正在投稿中。.对于有界光滑区域上的Jacobi方程，我们证明了在临界Besov空间中解是存在的，这方面工作目前正在投稿中。.最后我们还研究了幺模乘子在模空间上的有界性并得到了几个很有意思的结果，这方面工作正在整理中。