三维流形的Heegaard分解与Kleinian群

本项目研究Kleinian群形变理论与Heegaard分解相关联的问题.几何化猜想是说大部分的闭三维流形上存在双曲度量， 既曲率为-1的黎曼度量.其证明过程并没有具体给出这个度量的性状，只证明其存在性，并且事实上具体构造这个双曲度量异常困难.现在人们希望可以用弱的条件来得到流形的拓扑信息，既在pinched 负曲率的条件下，来研究三维流形.由Minsky等人关于双曲三维流形的Ending Lamination猜想的证明，利用Heegaard 分解来明确构作某些闭三维流形上的pinched负曲率度量已成为可能.申请人希望得到一个只依赖与Heegaard亏格的常数，使得对任意闭三维流形若其存在Heegaard 分解使其Heegaard 距离大于这个常数，则这个流形可构作出某pinched负曲率度量,并得到某些拓扑结果。并研究Heegaard距离的刚性，黎曼面经典Schottky实现等相关问题.

在过去三年中, 我们进行Heegaard分解, 曲线复形, 以及双曲几何等方面的研究,取得了一定的成果, 相信这些结果为我们将来的工作已打下了坚实的基础.我们的结果主要有以下几个方面:（1）我们证明随机闭三维流形是有理同调球的概率是1 。 并证明随机辫子的闭包是三维球面中的双曲链环的概率是1，并且其上没有非平凡的退化Dehn手术的概率大于零。（2）证明亏格为二的闭曲面的分离曲线复形的Gromov双曲性，这肯定的回答了数学家Schleimer的一个猜想。 与他人合作，证明亏格为一的有n个尖点的曲面的Hatcher-Thurston复形的Gromov双曲性，并证明亏格为二的闭曲面的Hatcher-Thurston复形不是Gromov双曲性的，但是是强相对双曲的。（3）在多面体几何领域有一定的结果，与他人合作，否定球面几何下的Bowers-Stephenson猜想。 并研究柄体上的多面体双曲几何结构，给出柄体的边界上的某些图可以实现直角的多面体双曲几何结构的充分必要条件。（4）给出日本数学家Ito关于拓扑同胚与带有一个尖点的环面的三维流形上双曲结构的模空间的边界点的是self-bumping点的充分必要条件的另一个简单的证明。