振荡Calderon交换子的有界性及其应用

调和分析中的Radon变换在医学中的CT技术中有重要应用, 而与Radon变换有密切关系的一类带多项式相位的振荡奇异积分是由美国科学院院士、Wolf奖得主E.M.Stein等人率先提出的。此后,Stein及Fields 奖得主 T.Tao等人分别研究了振荡奇异积分算子的有界性问题。 Calderon交换子是Calderon于1965年为研究奇异积分算子代数时引入的。由于Calderon交换子与PDE、Cauchy积分等问题有密切关系，因此，Calderon、Coifman和Meyer 等人均系统地研究了Calderon交换子有界性问题。Calderon交换子所对应的振荡积分的有界性、有界性的判定准则，以及这类算子在PDE中的应用正是本项目研究的核心内容。此外， 广义函数的Calderon交换子及其应用和非卷积型Calderon-Zygmund奇异积分算子的有界性也是我们的研究内容。

本项目重点研究了调和分析中的三个方面的问题。第一、关于振荡积分算子有界性的研究。振荡奇异积分是由美国科学院院士、Wolf奖得主E.M.Stein等人率先提出的, Stein及Fields 奖得主 T.Tao等人分别研究了振荡奇异积分算子的有界性问题。众所周知，双线性Hilbert变换有界性是由大数学家Calderon在研究Calderon交换子时提出的一个著名猜想。T.Tao等人证明了振荡双线性Hilbert变换有界性。在T.Tao等人的工作基础上，我们给出了双线性振荡Hilbert变换有界性的判定准则的刻画, 即, 振荡双线性Hilbert变换的有界性与截断双线性Hilbert变换的有界性是等价的, 其范围是最佳的。此外，对具有紧支集光滑函数的振荡积分变换进行了系统研究，我们得到了Lp的最优的下降估计阶, 作为推论，我们还得到了另一类算子的最佳估计。这些结果本质上改进了E.M.Stein等人的几个重要结果。.第二、系统研究了乘积空间上的Hardy算子的问题。乘积空间上的问题一直是比较困难的, 成熟的方法和工具不多, 借助于局部紧群上的Haar测度的理论, 用非常新颖的办法得到了乘积空间上的Hardy算子及其共轭算子加幂权有界性的充要条件及的算子的范数等创新性的结果。.第三、研究了著名的Hardy-Littlewood-Sobolev不等式及广义Hardy-Littlewood-Sobolev不等式。Hardy-Littlewood-Sobolev不等式是调和分析中极为重要的一类不等式, 与Riesz位势有密切联系, 被广泛的应用到ＰＤＥ等许多领域, 许多著名数学家都系统的研究过这个不等式。我们巧妙地利用Lorentz空间上的两个函数的乘积定理和卷积定理等方法刻画了加双幂权的Hardy-Littlewood-Sobolev不等式成立的充要条件。我们考虑了所有ｐ和ｑ的范围, 完整地解决了这个问题, 对于进一步的应用这个不等式提供了更多的便利。此外, 在一些特殊情况下, 还得到了使这个不等式成立的最佳常数。最后, 我们借助于凸分析及组合数学的方法, 结合华人数学家樊畿（Ky Fan）的一个关键结果完全解决了广义 Hardy-Littlewood-Sobolev不等式成立的充要条件。