若干振荡积分算子的研究及其应用

We will study some oscillatory integral operators and obtain some applications in the rotating Euler equation. The main contents are given as follows: (1) consider the local smoothing type estimate of fractional Schrodinger operator and establish the equivalence relation between the adjoint restriction estimate for the cone and the local smoothing type estimate of wave operator by using interpolation method and other previous results such as the estimate of square functions; (2) consider the endpoint restriction estimate for some oscillation curves and the maximal restriction theorem for general curves by applying Covering Lemmas for interval and some interpolation results for multilinear operators; (3) establish the mixed space-time estimate for a new dispersive operator and apply this estimate to the low regularity well-posedness of 3D rotating Euler equation. The research of these problems is conducive to understand the relationship between the subjects such as harmonic analysis, partial differential equations and related subjects, moreover it lays the foundation of the future research.

本项目研究若干振荡积分算子以及得到在旋转Euler方程中的一些应用。主要内容为：(1)利用插值办法以及已有的结果(如平方函数估计)考虑分数阶薛定谔算子的局部光滑型估计以及建立锥面上的对偶限制性估计和波算子的局部光滑型估计之间的等价关系；(2)利用区间覆盖引理以及多线性算子的插值结果考虑某些振荡曲线在端点处的限制性估计以及一般曲线的极大限制性定理；(3)对一类新型色散算子建立混合时空估计并将其应用于旋转Euler方程在低正则条件下的适定性问题。这些问题的研究将有助于探索调和分析、偏微分方程和相关学科之间的联系，为今后的研究奠定基础。

本项目研究若干积分算子以及利用实调和分析分析技术研究几类流体动力学方程解的适定性或衰减估计。主要取得了以下研究成果：.1 证明了沿一类特殊的变多项式曲线希尔伯特变换的L^p估计, 对Lie Victor (2020)年的主要结果的特殊情形提供了一个简单证明；.2 建立一类新型振荡积分算子的时空估计，在最佳Sobolev空间中证明了旋转欧拉方程解的长时间适定性, 改进了Sanghyuk Lee等的结果；.3 利用调和分析技术证明Boussinesq方程的长时间适定性。