非线性增广Lagrangian函数的理论、方法与其应用研究

增广Lagrangian函数在最优化领域有着广泛而直接的应用。为适应近年来出现的若干最优化的新问题，本项目将广义最小化基本问题的线性增广Lagrangian函数(对其单元罚参数是线性的)推广到非线性增广Lagrangian函数(简称NALF)。对于增广Lagrangian这种实质性扩展，有许多理论与算法方面的新课题需待解决，这即是本项目的研究目标。具体说，我们给出了几类NALF的统一模式，来研究：(1)建立零对偶间隙与支持精确罚表示的充分与必要条件(2)给出NALF中其全局鞍点与支持精确罚表示的等价类(3)建立NALF的扰动定理(4)给出相应的Lagrangian方法与乘子算法。在此基础上，将NALF应用于(i)光滑逼近精确罚函数(ii)构造新的简单光滑精确罚函数(iii)设计求解拟变分不等式问题的有效算法(iv)建立非紧致集值映象上的非凸广义半无限极大极小规划的最优性条件。

本项目主要研究成果在下述几个方面：.（1）非线性增广Lagrangian 函数的对偶理论与算法研究方面。对扩充实值函数极小化基本问题，建立了它的非线性增广Lagrangian 对偶问题一个非常一般的统一框架。支撑这个框架的非线性增广罚函数包含了已有的相关文献中的增广罚函数。给出了零对偶间隙与支持精确罚表示的存在的新的更一般的充分与必要条件。在这个框架下，推出了一系列的新成果：. （i）给出一类新的光滑精确罚函数，与已有相关文献不同的是，它不仅包含了障碍型光滑精确罚，而且包含了外罚型光滑精确罚。进一步我们证明了这类光滑精确罚与简单精确罚的等价性并且给出了相关的增广Lagrangian 精确罚算法。（ii）建立了约束优化问题的全局鞍点与支持精确罚表示的等价定理。通过这个等价定理，给出了全局鞍点存在的充分与必要条件。（iii）给出了一类新的光滑逼近l_1简单精确罚的增广Lagrangian 函数与相应的罚算法。给出了一个扰动定理，基于这个定理我们得出了算法具有全局收敛的充分必要条件。特别，在问题的解集满足弱强极小的条件下，得出了算法产生的可行解序列的有限终止性。作为算法的应用，我们用它解决了一类半无限规划问题。.（2）半光滑函数方程研究方面。主要研究了带箱约束的半光滑方程。首先通过正则光滑化给出了一个光滑SQP算法，在适当的条件下证明了算法的全局收敛性与有限终止性。进一步在误差界的条件下证明了算法具有超线性收敛速率。特别是算法的有限终止性的结果，目前在半光滑方程算法的有关文献中尚未见到。作为应用，我们通过解半光滑方程解决了广义半无限规划与非线性互补等问题。.（3）可行解序列有限终止性的研究。这是关于收敛性方面的一个重要特征。我们首先对很一般的凸规划与变分不等式问题，在解集满足经典的弱强极小的条件下，得到了它们的可行解序列有限终止的充分必要条件。这两个结果是相关文献中相应结果的改进与推广。特别在增广 Lagrangian 研究中得到了启示，我们在问题的解集上引进了一个增广集值映射，对可行解序列建立了序列增广弱强的概念。相对于可行解序列，这个概念极大的扩展了经典的弱强极小的概念，我们对非常一般的数学规划问题和变分不等式问题，在其解集满足序列增广弱强的条件下，给出了可行解序列有限终止的充分与必要条件。