含掩埋物体的无穷曲面反散射问题的理论与数值方法研究

This project studies inverse scattering problems for rough surfaces with buried obstacles, which has attracted increasing attention in recent years. We aim to study the following two problems: (1) inverse scattering by an impenetrable surface with buried obstacles above it; (2) inverse scattering by a penetrable interface with buried obstacles below it. Include the theory and numerical methods for the direct and inverse problems in our contents. For the direct problem, we will establish the existence of a unique solution by a new Rellich identity and the generalized Fredholm theory, then design fast numerical algorithms. For the inverse problem, by a novel cut-off technique, we transfer the scattering problem to an boundary value problem based on which we prove the mathematical justifation of the qualitative methods. By combining qualitative methods and iterative optimization schemes, using multi-frequency data, we will develop fast and effective numerical algorithms to reconstrct the obstacles and infinite surfaces. Finally, we will present some numerical experiments to show the validity of the inversion algorithm. The results of this project will provide a new idea for solving inverse scattering problems for rough surfaces, which have a number of guiding significance in the areas such as geological exploration and underwater acoustics.

研究含掩埋物体的无穷曲面反散射问题，此问题是近年来反问题领域的热点课题。研究两类问题：(1)掩埋物体位于不可穿透无穷曲面之上；(2)掩埋物体位于可穿透无穷界面之下。研究内容包括正问题适定性、数值解；反问题理论及数值方法。研究方法及研究目标:(1)对于正问题，通过建立新的Rellich等式证明唯一性，并结合广义Fredholm理论得到解的存在性及稳定性；并设计快速数值求解算法。(2)对于反问题，通过一种新颖的截断思想，将含掩埋物体的无穷曲面散射问题转化为有界障碍散射问题或有界非齐次介质散射问题，从而给出定量方法的严格理论分析；设计出快速有效的数值算法同时标识无穷曲面及掩埋物体的边界；并借助于迭代方法及多频技术，优化重构结果。最后利用若干数值算例加以验证。预期结果将为无穷曲面反散射问题提供新思路及新方法，且对地质勘探、水下声纳等众多实际应用领域具有重要的指导意义。

本项目主要研究含掩埋物体的无穷曲面反散射问题，此类问题是反问题领域的热点及难点问题。主要研究两类问题：（1）掩埋物体位于不可穿透无穷曲面以上；（2）掩埋物体位于可穿透无穷曲面以下。我们研究这两类问题的正散射问题的适定性、数值解；基于正散射问题的结果，我们研究反散射问题的数值重构方法：仅仅利用无穷曲面以上的测量数据同时重构无穷曲面的形状以及掩埋物体的位置及形状。. 我们获得了两个重要结果：（1）假设无穷曲面是声软型不可穿透的局部粗糙曲面，我们通过引进一个特殊的无穷曲面从而构造了一类近场方程，基于这类近场方程我们得到了重构无穷曲面的线性采样方法。（2）考虑可穿透的局部粗糙无穷曲面下方具有掩埋物体的情形。通过引入一类特殊的无穷曲面，我们把含有掩埋物体的无穷曲面反散射问题转化为有限个非齐次介质及掩埋物体的散射问题。基于此，我们构建了一类近场方程同时重构无穷曲面的形状以及掩埋物体的位置及形状。. 本项目的预期成果将为无穷曲面反散射问题提供新思路和新方法，且对地址勘探、水下声纳等众多科技领域具有重要的指导意义。