无穷粗糙曲面反散射问题的高效算法研究

This project is devoted to studying the efficient algorithms for the inverse scattering problems by infinite rough surfaces in the cases of two and three dimensions. We hope to reconstruct the unbounded interfaces from near-field data that measured in the upper half space. The aim of the research is as follows. (1) We study the fast numerical method for the forward scattering problems by infinite rough surfaces. Based on this, we set up the iterative algorithms for the inverse scattering problems by using the regularization method. (2) By using the ideas of linear sampling method, factorization method and direct imaging method, we build the suitable indicator functions. Then we study the properties of the indicator functions when the sampling points get close to the boundaries. And based on this, we establish the non-iterative algorithms for reconstructing the unbounded interfaces. The study of this project will be valuable and helpful in many fields such as geological exploration and satellite remote sensing.

本项目将研究二维和三维情形下无穷粗糙曲面反散射问题的高效算法。我们希望通过在上半空间测量近场数据来重构无界分层界面。其研究目标如下：（1）给出无穷粗糙曲面正散射问题的快速求解方法，并在此基础上利用正则化方法建立反散射问题的迭代算法；（2）利用线性采样方法、分解方法和直接成像方法的思想，构造适当的指示函数，研究采样点靠近边界时指示函数的性质，并由此建立重构无界分层界面的非迭代算法。本项目的研究对于地质勘探、卫星遥感等领域具有实际的应用价值和重要的指导意义。

本项目研究了无穷粗糙曲面反散射问题，发展了两类重构未知曲面的高效数值算法。首先，项目组提出了利用多频无相位远场或近场数据重构局部粗糙曲面的逐次化Newton迭代算法。数值实验证实了该算法是稳定而精确的，并且可以重构具有多尺度特征的边界。我们的迭代算法还被应用于相位缺失远场数据情形下有界障碍反散射问题的研究。接着，项目组利用无穷粗糙曲面散射问题的Helmholtz-Kirchhoff恒等式建立了利用点源入射产生的声波近场散射Cauchy数据重构无穷粗糙曲面的直接成像方法。我们利用散射场的交互关系、散射解的渐进行为以及边界积分方程方法研究了该成像方法的数学理论。该方法的好处在于不需要预先知道未知边界的物理属性。数值算例验证了直接成像算法是快速精确的，并且对噪音是鲁棒的。我们的直接成像方法还被进一步应用于相位缺失情形下有界障碍声波反散射问题、相位缺失情形下局部粗糙曲面声波反散射问题以及无穷粗糙曲面弹性波反散射问题的研究。