Toeplitz结构化鞍点线性系统的数值解法及其在分数阶微分方程中的应用

The saddle point linear systems with Toeplitz structure arise from the discretization of (fractional) partial differential equation and the discretize-then-optimize approach of the optimal control problem governed by the partial differential equations and other actual application, whose numerical methods draws great interest of the researchers in scientific computing and engineering applications..In this project, starting from numerical methods for solving the structured linear systems originated in the fractional partial differential equation and its optimal control problem, concentrating on non-sparse and complex structure of the discrete coefficient matrix brought by fractional differential operator, focusing on Toeplitz structure and saddle point matrix block structure, utilizing the matrix approximation, matrix splitting, matrix factorization, dimensional splitting and other methods, combining with circulant matrix, banded matrix and fast transformation, we design a series of the efficient iteration methods and preconditioners are designed for solving the structured linear systems with Toeplitz, saddle point or both structure. Theoretical analyses are given to show that the iteration methods and preconditioned matrices are convergent and efficient. Numerical experiments from the practical problems in application field are reported to illustrate the efficiency and stability of the proposed iteration methods and preconditioners by comparison with some existing methods. .We believe that the research of this project not only proposes highly efficient numerical methods for solving fractional differential equation and its optimal control problem, but also provides algorithm guarantee for solving the practical problems in actual application.

Toeplitz 结构化鞍点线性系统广泛来源于微分方程离散及其最优控制问题离散优化等诸多实际应用领域，其数值解法引起了科学计算和工程应用领域研究人员的广泛关注. .本项目从分数阶微分方程及其最优控制问题离散优化形成的结构化线性系统的数值求解出发, 立足于解决分数阶微分算子离散带来的矩阵非稀疏和结构复杂问题, 重点关注线性系统所具有的 Toeplitz 结构和鞍点分块结构, 通过矩阵近似、矩阵分裂、矩阵分解和维数分裂等方法, 结合循环矩阵、带状矩阵和快速变换等知识, 深入研究具有 Toeplitz 结构、鞍点分块结构或二者兼有的线性系统的数值算法, 并将算法用于分数阶微分方程及其最优控制问题的数值求解. 理论分析迭代法和预处理的收敛性, 数值验证有效性和稳定性. .相信通过本项目的研究可以为分数阶微分方程及其最优控制问题提供高效数值解法, 进而为相关领域实际问题的快速有效解决提供算法保障.

具有Toeplitz和鞍点结构的线性系统广泛来源于微分方程及其优化控制问题离散等诸多实际应用领域，且随着科学和工程发展的需要变得越来越复杂，规模越来越庞大，其精确解在一般情况下是难以得到的，那么发展快速、高效、鲁棒的数值解法来求解此类问题就显得十分重要。本项目主要研究了如下三类结构化线性系统的快速求解问题：具有Toeplitz结构的线性系统、具有鞍点分块结构的线性系统、以及同时具有Toeplitz和鞍点结构的线性系统。. 首先，对来源于分数阶微分方程数值离散的具有Toeplitz结构的线性系统，基于矩阵分裂技术、循环近似方法和矩阵的正定性、占优性和对角性，并利用预处理技术等方法和理论，构造了有效的迭代解法和预处理快速数值解法。在理论上，分析所设计算法的收敛性及有效性，并通过数值实验进行了验证。. 其次，对于具有鞍点分块结构的线性系统，基于目前已有的迭代方法及其迭代矩阵的具体性质，通过分析分解矩阵的对称正定性，从保持矩阵结构的角度设计提出了新的快速数值算法，理论分析了预处理矩阵的谱性质并给出了具体谱分布区间和仅依赖于矩阵迹的最优迭代参数，源于Stokes问题的数值实验验证了所提预处理的可行性和有效性。 . 最后，考虑了同时具有鞍点分块结构和Toeplitz结构的线性系统的快速数值解法，基于矩阵性质、特殊结构、矩阵分裂和预处理技术，并利用Toeplitz矩阵的循环近似设计提出新的快速迭代解法和循环预处理子。理论分析算法的收敛性和预处理矩阵的谱分布，数值实验证明设计算法的有效性。. 作为附加内容，利用弱非线性系统的迭代解法，基于非线性迭代技术和矩阵Hermitian与反Hermitian分裂，提出了求解绝对值方程的新的迭代方法，理论分析和数值实验表明该方法是可行有效的。