基于非线性积分的可积函数空间及泛函表示

The main purpose of this project is to discuss some important aspects of three important nonlinear integrals, namely, the Choquet, pan- and concave integrals. Concretely, we investigate the properties of the space of integrable functions and the representation of nonlinear functions based on these integrals. It will prove the Minkowski, the Holder and other important inequalities based on the pan- and concave integrals. We will define the norms of integralbe functions by using the pan- and concave integrals based on monotone measure. Then we introduce the spaces of integrable functions via these new norms, and investigate the completeness and separability of the spaces. That is to say, we will establish the corresponding theory of L^p space, which is an important aspect in classical measure theory, in the frame of nonlinear integrals. It will also reveal the interrelationships of the pan-, concave and Choquet integrals. We will also establish representation theorems of nonlinear functions constrained by some additional properties—this is the corresponding part of Riesz representation theorem. Finally, we try to establish the Radon-Nikodym theorms of nonadditive measures and nonlinear integrals. In conclusion, this project will enrich the theory of nonlinear integrals, and will play an important role in the process of building the complete theoretical system of nonlinear integrals.

本项目研究三类重要非线性积分— Choquet积分、泛积分和凹积分的可积函数空间性质和基于这些积分的非线性泛函表示。主要内容为证明基于泛积分与凹积分的Minkowski、Holder等重要不等式；对于可测函数分别定义基于单调测度泛积分和凹积分的范数，引入基于泛积分与凹积分的可积函数空间概念，证明这两类函数空间的完备性和可分性，从而建立与经典测度论中L^p空间类似的非线性可积函数空间理论；讨论泛积分、凹积分与Choquet积分之间的关系，揭示三类积分之间的内在联系；研究具有某些特定性质的非线性泛函的泛积分和凹积分表示，将经典实分析中的Riesz表示定理进一步推广和延伸到非可加测度理论。试图建立经典测度论中的Radon-Nikodym定理在非可加测度和非线性积分理论中的对应理论。本项目将丰富非线性积分的研究内容，并为建立与经典积分理论对应的完善的非线性积分理论体系起到重要作用。

本项目主要研究了非线性积分理论中若干重要问题，主要包括基于泛积分和凹积分的可积函数空间基本理论以及几类主要的非线性积分之间的关系。.当单调测度满足次可加性时，我们给出了基于泛积分的Holder不等式和Minkowski不等式，并证明了非负可测函数的泛积分是可加的。由于泛积分满足正齐性，因此非负泛可积函数的全体构成一凸锥。我们引入了实值可测函数泛积分的概念，并证明了若单调测度具有次可加性则泛可积函数的全体构成一赋范空间。若单调测度还具有下连续性，则该赋范空间为Banach空间。由于当单调测度满足次可加性时，凹积分与泛积分等价，因此我们事实上也得到了基于凹积分的可积函数空间基本理论。.由于单调测度一般不具有可加性，因此在同一个单调测度空间中可以定义各种不同的积分。研究这些积分之间的关系，可以在这些积分之间架设起桥梁，具有重要的理论价值。本项目详尽研究了Choquet积分、（上）泛积分以及（凸）凹积分之间的一致性条件。我们引入了单调测度最小原子的概念，研究了其若干性质，并通过这些性质给出了有限空间中泛积分与凹积分等价的充分必要条件。我们引入了单调测度的(M)-性质，证明了它是泛积分与凹积分等价的充分条件；当可测空间有限时，该条件还是必要的。利用可测空间原子的基本性质，我们给出了有限空间中上泛积分与凸积分等价的充分必要条件。此外，我们引入了对偶(M)-性质的概念，并利用它给出了上泛积分与Choquet积分等价的充分必要条件。.此外，我们将非负可测函数的泛积分表示成一族具有特定性质的非线性泛函的下确界，为进一步研究非线性泛函的泛积分表示打下基础。我们还研究了基于最优测度的泛积分的性质、利用基于最优测度的凹（凸）积分给出了一个多属性决策的新模型、给出了借助非线性积分研究模糊神经网络逼近的一个方法等。