基本解方法在时间分数阶偏微分方程反问题中的应用

分数阶偏微分方程是研究非对称、非Gauss型反常扩散行为的重要工具。其相应的反问题由于具有重要的科学与工程应用背景，近年来一直是国内外学者研究的热点。由于这些反问题有不同程度的不适定性（即解不连续依赖于数据），所以通常的数值求解方法在此是失效的。本项目拟通过构造时间分数阶偏微分方程的基本解，利用基本解方法结合离散正则化方法求解该问题。

本项目利用核基逼近方法对时间分数阶扩散方程的反问题进行了如下几部分研究： (1) 一维时间分数阶扩散方程的Cauchy问题。通过构造时间分数阶扩散方程的基本解，以基本解为实验函数的核基逼近方法和Tikhonov正则化方法相结合的技术研究了该问题。（2）时间分数阶扩散方程的逆时问题 。在整数阶扩散方程的反问题研究中我们知道，逆时问题的不适定性比Cauchy问题的更强。根据分数阶扩散方程基本解的性质，构造了一种新的资源点选取方法，得到了稳定的数值逼近解。并且将该资源点选取方法用于经典反向热传导问题，说明该方法比之前方法的优越性。（3） 二维时间分数阶扩散方程反问题 。我们通过以紧支撑径向基函数(CSRBFs)和全局径向基函数（RBFs）为实验函数的核基逼近方法研究了在2-D空间中Cauchy问题的数值解。并且比较说明了CSRBFs和RBFs在具体数值求解2-D问题中的优劣性。其中，（1）方面的研究成果已发表在《Eng. Anal. Bound. Elem.》杂志上；（2）、（3）方面的研究结果正在整理中，将于近期投稿。