临界点理论在脉冲微分系统及相关问题中的应用

脉冲微分系统是自然界、科学技术和工程应用领域中抽象出来的数学模型，因考虑到系统瞬时变化，更能反映实际问题。本项目拟结合非线性分析中临界点理论和脉冲系统开展如下研究：（1）以往研究脉冲微分系统边值问题的解，主要用传统方法（拓扑度理论和上下解方法），我们研究新临界点定理或把多个临界点定理有机结合，建立脉冲系统解、正解和多个正解存在性结论；（2）深刻刻画脉冲系统解的性质，建立脉冲系统有界解、对称解和无穷多解存在性和渐近性；（3）研究高阶脉冲微分系统和微分差分方程Sturm-Liouville边值问题。本项目将对脉冲微分系统及相关问题的发展起促进作用，也将丰富和扩展临界点理论和应用范围。预期在有影响的期刊上发表或接受发表论文10-12篇，并培养研究生2-3名。

脉冲微分系统是自然界、科学技术和工程应用领域中抽象出来的数学模型，因考虑到系统瞬时变化，更能反映实际问题.. 我们主要运用变分法和临界点理论研究微分系统、脉冲微分系统、微分包含解、正解、变号解的存在性；高阶脉冲微分方程边值问题解、正解的存在性。此外研究差分方程边值问题和分数阶边值问题解、正解存在性；反周期边值问题，非自治哈密顿系统周期解。.（1）首先研究下降流不变集在微分方程Sturm-Liouville 边值问题上的应用, 得到解、正解和变号解存在性结论。我们得到一个关键引理是能量泛函的临界点等价于积分方程的解，积分算子含有格林函数。我们的工作发表在SCI期刊Nonlinear Analysis上。与以往结果相比：确定了变号解存在性；如果我们用拓扑度理论和不动点定理研究，需要对f强加渐近线性和严格递增的限制。本工作中没有此类限制。我们工作包含了变号解存在性结论。.（2）首次将上下解和变分法应用到微分方程Sturm-Liouville 边值问题，得到4个解和7个解的存在性判别结论。指出当所给上解为正，下解为负时，变号解存在。.（3）建立含脉冲的微分系统变号解存在性结论。把上下解方法和变分法相结合的思想推广应用到脉冲微分系统，得到全新的结论。克服的困难是能量泛函的临界点等价于积分方程的解，积分算子含有对应的格林函数。.（4）首次运用非光滑临界点定理建立含脉冲的微分包含的多个解存在性结论。克服的困难有：怎样定义弱解，怎样证明弱解正是原问题的解，由于脉冲出现如何证明常规性假设条件。对进一步研究含有脉冲的微分系统有借鉴意义。.我们的研究扩展了变分法的应用范畴，丰富了脉冲微分方程、微分方程的定性理论。.三年共发表论文16篇，其中SCI检索10篇，EI检索2篇，还有1篇论文录用待发表。