某些海塞方程解的刘维尔定理与孤立奇点分析

Liouville theorem and singularity of solutions are always the important subjects in the domain of differential equation. Meanwhile, they are relations between each other, and have important applications in the study of differential equation itself, differential geometry and physics, etc.. Especially, some conclusions of geometry problems may be expressed straightforward as Liouville theorems (or so called Bernstain theorems). There are many famous mathematicians pitch in these subjects in history. This project will studies Liouville theorem and isolated singularity of solutions to some Hessian equations, including two classical Hessian equations in Euclidian space and conformal Hessian equation. We hope to give a unified approach to these two subjects, by the method of integral estimates. Hessian equations are the representativeness among fully nonlinear elliptic partial differential equations. The objects considered in this project are all important and long time standing problems. Moreover, our conclusions will be thorough and complete. Besides, basing on the known method of integral estimate, we shall also bring forth news ideas and techniques to this method.

解的刘维尔定理与奇异性一直是微分方程领域的重要研究课题，同时它们互相之间也有联系，它们在微分方程本身、微分几何以及物理等领域的研究中也有重要的应用，特别是有时几何问题的结论直接体现为刘维尔定理（或称Bernstein定理），历史上许多重要数学家在这方面都做出过贡献。本项目研究某些海塞（Hessian）方程解的刘维尔定理与孤立奇点问题，包括欧氏空间中的两个经典海塞方程，以及共形海塞方程，希望运用积分估计的方法对方程解的刘维尔定理与孤立奇点的分类给出统一的处理。海塞方程在完全非线性椭圆方程中具有基本的代表性意义，本项目所要研究的都是长久以来悬而未决的重要问题，其结论将是彻底而完整的。同时，本项目将在总结吸收已有的积分估计的一些方法基础上，对该方法从思想和技巧上做一些创新推广。

本项目研究期间，在非线性椭圆方程解的刘维尔定理与孤立奇点分析方面，取得了一些重要研究成果，发表SCI收录的高水平研究论文3篇。一是研究Heisenberg群上一类半线性椭圆方程解的刘维尔定理，给出该方程在次临界指标下的全空间解的完整分类，并且得到了孤立奇点附近解的最佳上界估计。该结果是Jerison-Lee[JAMS1988]给出临界指标的刘维尔定理后，在该类方程研究方面取得的首个重要结果，将为该类方程的后续研究提供重要基础。相关结果发表在国际权威数学期刊Advances in Mathematic上。二是研究一类完全非线性椭圆方程解的刘维尔定理，由此得到作为全空间图的拉格朗日平均曲率流自收缩解的完整分类，我们的结果是对Chau-Chen–Yuan[JRAM2012]和Ding-Xin[JRAM2014]在特殊拉格朗日方程与蒙日-安培方程相关结果的完备化。三是研究单位圆上带有非线性纽曼边界条件的调和函数的刘维尔定理，Guo-Wang[CV2020]应用移动平面的方法在相关参数的一定取值范围内求解了该问题，而我们用积分估计的方法部分突破了他们的参数取值范围，由此结果，还可以得到相应的索伯列夫脊不等式。