反应-对流-扩散方程的孤立奇点和解的渐近性分析

This project is concerned with reaction-convection-diffusion equations, which are derived from the reaction-convection-diffusion progress in many fields exist widely in the physics, differential geometry, population dynamics and so on. They have both profound practical background and important theoretical value. We will investigate the isolated singular point and asymptotic properties of solutions for such kind of equations, including the removability of isolated singularities, the classification of singular solutions, especially the complete classfication, and the long time behavior of solutions. We expect to establish the critical exponents theories, which can be used to discrib the asymptotic behavior of solutions, and give the effection of reaction, convection and diffusion on them. Existence of the multiple nonlinear items and singularities make the model more close to the reality, but also led to the failure of some known useful theory. So our research not only need the classical mathematical tool, but also need to make innovations in the research ideas and methods, and it will enrich and perfect the theory of partial differential equation in some extent.

本项目拟研究反应-对流-扩散方程，这类方程来源于物理学、微分几何以及种群动力学等领域中广泛存在的反应-对流-扩散现象， 既有深刻实际背景也有重要理论价值. 本项目将研究此类方程的孤立奇点和解的渐近性，包括孤立奇点的可去性、奇异解的分类特别是完全分类和解的长时间行为. 本项目将建立利用方程中指数或初值在无穷远处的渐近性刻画解性态变化的临界指标理论，明确给出反应项、对流项与扩散项对解渐近行为的影响. 多重非线性与退化、奇异的存在， 这使得模型更接近于实际， 同时也导致部分已有研究理论失效，给研究带来本质的困难. 因此本项目的研究既需要经典的数学工具，也需要在研究思路与方法上有所创新，将在一定程度上丰富已有的偏微分方程理论.

本项目研究的反应-对流-扩散方程, 它来源于物理学、微分几何以及种群动力学等领域中广泛存在的反应-对流-扩散现象, 既有深刻实际背景也有重要理论价值. 本项目的研究内容主要包括以下两个方面: (1) 孤立奇点的可去性问题. 针对低阶项系数属于非线性kato类的发展型加权p-Laplace方程, 采用逐点估计方法建立了解在孤立奇点处奇性可去的充分性条件. (2) 奇异解的分类特别是完全分类问题. 关于具非线性吸收项的加权p-Laplacian型椭圆方程, 不仅考察了可去性问题, 而且讨论了正解在孤立奇点附近的所有可能渐近行为. 本项目的研究意义在于我们所研究的内容均是退化扩散方程研究领域缺少系统分析和讨论的问题, 并且已有的一些经典方法可能不再适用, 我们根据问题的特点寻找新的研究思路. 研究结果和方法将在一定程度上丰富偏微分方程的理论并对解释某些物理现象提供重要参考.