椭圆偏微分方程解的水平集的凸性

解的凸性研究是椭圆偏微分方程研究的重要课题之一，它与方程解的正则性、存在性以及唯一性等有紧密联系。方程解的凸性一般分为解函数本身的凸性与解的水平集的凸性。凸性研究方法主要有两种：一是从宏观角度出发的其实质为弱极值原理的"凹性函数"的方法，二是从微观角度出发的其实质为强极值原理的常秩定理。本项目将对一些非线性椭圆方程、抛物方程解的水平集的Gaussian 曲率、主曲率等关键几何量给出最佳的定量估计，进而通过连续性方法得到相应方程解的水平集的凸性；对凸区域或凸环上某些方程给出其解的水平集凸性的充要条件；给出水平集凸性的一些应用。该项目结果具有首创性，并将为椭圆偏微分方程解的水平集凸性的研究提供新的方法与手段，加深对偏微分方程解的水平集凸性的理解，对方程与几何两方面的研究都有重要意义。

在本项目支持下，三年来项目组成员积极开展研究活动，取得了一些好的研究成果，发表了SCI收录论文2篇、核心期刊论文1篇， 另有一篇论文已完成并投稿。研究成果的具体内容主要有三个方面，一是给出了2、3维的p-调和函数水平集高斯曲率的最佳定量估计；二是发现了极小曲面上与水平线曲率有关的调和函数与下调和函数，由此亦可以得到凸环上极小图的水平线凸性的定量估计；三是研究来自于共形几何的一类特殊的完全非线性方程，推广了分部积分方法在椭圆偏微分方程研究中的一些应用技巧，推导出有关方程解在孤立奇点附近的奇性估计以及全空间解的分类。. 三年来，举行了小型学术研讨会2次，项目组成员还多次到合肥、上海等地参加国内学术会议，到中国科技大学等科研学术机构做短期访问研究；邀请国内专家来访、做学术报告6人次。通过与外界交流，增长了项目组成员的见识，提高了研究能力与学术水平，对依托单位的科研工作也有较大的提升作用。. 当然，项目实施过程中也存在一些问题，遇到不少困难，比如一些研究内容难度过大，还处于探索阶段，暂时没有很好的研究结果，故对研究内容做了一些适当调整；还有一些主客观原因，使得对外交流不够，无法如期完成原计划的“举办学术会议、邀请国外专家来访、到国外研究机构访问研究”等学术研究交流活动。相应地，造成原预算的一些经费也未能安计划开支，经费结余过多。. 总之，在本项目支持下，项目组成员积极开展研究工作，克服了实施过程中的一些困难，取得了较好的研究成果，同时自身学术研究水平也有了较大提高，基本达到了预期的研究目标。