涉及四圈的多色Ramsey数和Turán数

Ramsey theory has been a research focus in Combinatorics. Graph Ramsey theory is a major branch of Ramsey theory. Ramsey numbers and Turán numbers are two basic extreme value functions in graph Ramsey theory. This project aims at studying Ramsey numbers and Turán numbers concerning 4-cycles. The proposed research contents are as follows: determining some new Ramsey numbers for 4-cycle versus stars, and solving or partially solving Burr Conjecture; basic on some known Ramsey number, studying star-critical Ramsey numbers and upper Size Ramsey number for 4-cycle versus stars; determining some new Turán numbers for 4-cycle; and researching some multicolor Ramsey numbers concerting 4-cycles and their relations.

Ramsey理论一直是组合数学的研究热点，而图Ramsey理论是Ramsey理论的一个重要分支。Ramsey数和Turán数是图Ramsey理论中两个最为重要的极值函数。本项目旨在研究涉及四圈的Ramsey数和Turán数。拟研究的主要内容：确定一些新的C4-Star的Ramsey数，推进Burr猜想的发展和解决；在C4-Star的Ramsey数的确定的基础上，研究C4-Star的Star-Critical Ramsey数和Upper Size Ramsey数；确定一些新的关于C4的Turán数；研究涉及C4的多种类型的多色Ramsey数以及它们的相关性。

Ramsey理论一直是组合数学的研究热点, 而图Ramsey理论是Ramsey理论的一个重要分支. Ramsey数和Turán数是图Ramsey理论中两个最为重要的极值函数. .本项目旨在研究涉及四圈的Ramsey数和Turán数. 主要研究涉及C_4的多种类型的多色Ramsey数以及它们的相关性. 结合图结构分析、代数、概率和组合设计等方法, 我们得到重要结果如下：.一、给出了R(C_4,C_4,K_1,n)的一个上界, 确定某类特殊n的R(C_4,C_4,K_1,n)的精确值；.二、给出了R(C_4,C_4,W_n)的一个上界, 确定某类特殊n的R(C_4,C_4,W_n)的精确值；.三、给出多色Ramsey数R(C_4,...,C_4,K_1,n)和R(C_4,...,C_4,W_n)的上下界, 以及两者之间的关系；.四、对任意n, 确定了R(C_4,C_4,P_n)的精确值；.五、给出了二部Ramsey 数R_B(C_4,C_4,K_1,n)的一个上界, 确定某类特殊n上二部Ramsey 数R_B(C_4,C_4,K_1,n)的精确值. .Ramsey数值的确定是一个NP-hard问题, 2-色Ramsey的确定也是不多的, 何况多色. 该些结果推广了Parsons [Transactions of the American Mathematical Society, 209(1975), 33-44], Burr 等 [Annals of Discrete Mathematics, 41(1989), 79-89], Dybizbánski和Dzido [Graphs and Combinatorics, 30 (2014), 573-579] 和张闫博等 [Electronic Journal of Graph Theory and Applications, 2 (2014), 110-114] 等一系列比较经典结果,也丰富了多色Ramsey数的理论.