一类时间分数阶扩散方程 Cauchy 问题解的爆破和全局存在性研究

In this project, we consider that the blow-up and global existence of mild solutions of Cauchy problems for nonlinear time fractional diffusion equations, especially, we study the cases of nonlinear term with memory and nonlinear term with power form and determine the Fujita critical exponents. By proving that a mild solution of the problem is also a weak solution of it, and using test function method to derive the global nonexistence of weak solution, we deduce that the mild solution is blow-up under some conditions. For the global existence of mild solution, we get the corresponding results by applying the properties of solution operators and the contraction mapping principle. These researches are important to further character some basic properties of solutions for nonlinear time fractional diffusion equations, and find the difference between the fractional diffusion equation and classical diffusion equation and wave equation.

本项目主要研究时间分数阶非线性扩散方程 Cauchy 问题适度解的爆破和全局存在性，特别是考虑非线性项带有记忆性和非线性项具有幂函数形式的情形，并确定其 Fujita 临界指数。研究方法是通过证明问题的适度解也是该问题的弱解，再利用检验函数法得到弱解的不全局存在性，进而得出该问题的适度解必然在有限时间内爆破。而对于适度解的全局存在性，主要应用解算子的估计，以及压缩映像原理获得相关的结果。基于以上问题的研究，进一步刻画时间分数阶非线性扩散方程解的一些基本性质，并揭示分数阶扩散方程与经典扩散方程和波方程之间的区别。

项目主要研究了一类时间分数阶超扩散方程以及一类非线性项带有记忆性的时间分数阶扩散方程Cauchy问题解的爆破和全局存在性，并确定其临界指数。对于时间分数阶超扩散方程Cauchy问题，给出了解算子的相关估计，证明了问题在Lebesgue空间的适定性，并且在初值满足不同假设下分别确定了问题的临界指数。对于非线性项带有记忆性的时间分数阶扩散方程Cauchy问题，考虑了问题的适定性，并且在分数阶导数的阶数和非线性项满足不同假设下分别确定了问题的临界指数。基于以上问题的研究，进一步完善了分数阶扩散方程Cauchy问题的基本理论，揭示了分数阶扩散方程与经典扩散方程和波方程之间的区别与联系。