几个双曲型守恒律组弱解的存在性问题

本项目主要研究几个重要的双曲型守恒律组弱解的存在性问题。具体来说，我们将研究在退化双曲情况下的粘弹性力学模型和Van de Waals 气体模型的简化模型方程组、非等熵气体动力学模型和两相流方程等具有经典意义的守恒律系统，重点研究这些方程组 Riemann问题和Cauchy问题解的存在性，并探讨其弱解的非线性波的稳定性及其大时间渐近行为。这些问题都是守恒律中的重要热点，会对守恒律方程的理论研究产生影响。通过对这些问题的研究，我们将改进补偿列紧的相关理论，使之适用于具完全双曲退化的2×2守恒律组，同时结合Glimm格式，将补偿列紧理论应用于含三个方程以上的守恒律方程组。本项目的一个特色是将渐近分析的方法引入双曲型守恒律研究，利用渐近分析中的渐近展开、逐点奇性分析等有效的方法，更深入地研究守恒律弱解的间断特性和渐近行为。

本项目主要研究双曲型守恒律的几个重要问题。具体地说，包括两相流气液模型弱解的存在性；非线性退化波方程弱解的构造；Chaplygin气体模型解的稳定性，以及等熵和非等熵模型解的结构比较等问题。. 在本项目研究中，我们发展了新的方法得到了一类两相流气液模型自由边界问题弱解的存在性和唯一性，这个工作改进了Evje 和 Karlsen等人的经典结果。对于非线性退化波方程，我们在v-u相平面上划分12个区域完整的构造出其Riemann 问题的解，改正了以前的文献中退化激波不满足R-H间断条件的错误。我们通过研究和数值计算，比较了在相同的初值条件下，等熵和非等熵模型Riemann解的结构，结果显示，几乎在所有的初值情况下，熵模型等熵和非等熵模型的解高度相似，这为我们研究非等熵模型提供了借鉴。这些工作对双曲型守恒律的研究发展了新的方法和分析技术。