双曲守恒律方程组弱解的性质研究

双曲守恒律方程组以及一些相关问题研究是流体力学数学研究的重要问题。一般来说，由于问题的非线性，光滑解并不存在，并且由于物理上的重要意义，弱解成为人们的重要研究对象。弱解中包括激波，疏散波，接触间断等复杂形式，给分析带来困难。一维的情况的研究已经取得了一些非常好的结果，但是很多问题还需要进一步研究。另外，对于高维问题的研究尚未建立完整的理论。该项目将对一维的问题作进一步研究，包括方程组的解的适定性及衰减性等。对于高维问题，将研究解的存在性，渐近稳定性等等。研究的重点将放在对含有激波，接触间断等的弱解的存在稳定性，解的大时间性态，波的反射以及各种波的相互作用。项目的预期目标是对上述问题建立较为完善的理论，并将在权威期刊上发表学术论文5-8篇。

本项目执行三年期间，基本按照原计划计划进行。对于理想流体的Euler 方程组，我们主要是从以下几个方面进行了研究：1. 可压缩流体冲击锥形物体时激波解的存在性。在我们以前，主要的结果都是考虑锥形的张角为小角度情形，在这种情况下，所产生的主激波是一个强度非常弱的波。我们证明了当张角小于一个临界值时（由于当角度充分大时，会产生脱体激波，我们研究的是附体激波，所以这个要求是合理的）解在整体存在性。 2.研究了三维球对称的相对论Euler方程组的非相对论极限。我们采用Glimm格式的方法，在BV空间中建立的解的存在性，并证明当光束趋于无穷大时，其解将趋于非相对论的Euler方程组的解。3.研究了可压Euler方程组在Besov空间中的松驰极限。利用调和分析的方法，通过建立精确的解的一致有界性估计以及交换子的估计，证明了初值在平衡解附近时的整体解的存在性，并证明，当松弛时间收敛到零的时候，其密度收敛到疏松介质方程的解。4.研究了简化的Ericksen-Leslie模型，对原来的判断正则性的标准进行了较大提高。用的主要方法是能量方法。5.研究了带有耗散项的守恒律方程组的大时间性态，以及带有粘性的流体力学方程组的大时间性态。我们采用Fourier分析的方法，得到了精细的逐点估计，并将这一结果推广到更加一般的方程组上。在对外交流方面，邀请部分专家前来访问，并作系列学术报告。组织了两次偏微分方程学术研讨会，多次参加学术会议及一些暑期活动。发表3篇论文，均为SCI期刊。正在审稿的有6篇。